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    1．运用公式法 在整式的乘.除中.我们学过若干个乘法公式.现将其反向使用.即为因式分解中常用的公式.例如: (1)a2-b2=, (2)a2±2ab+b2=2, (3)a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2), (4)a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)． 下面再补充几个常用的公式: (5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=2, (6)a3+b3+c3-3abc=(a2+b2+c2-ab-bc-ca), (7)an-bn=(a-b)(an-1+an-2b+an-3b2+-+abn-2+bn-1)其中n为正整数, (8)an-bn=(a+b)(an-1-an-2b+an-3b2--+abn-2-bn-1).其中n为偶数, (9)an+bn=(a+b)(an-1-an-2b+an-3b2---abn-2+bn-1).其中n为奇数． 运用公式法分解因式时.要根据多项式的特点.根据字母.系数.指数.符号等正确恰当地选择公式． 例1 分解因式: (1)-2x5n-1yn+4x3n-1yn+2-2xn-1yn+4, (2)x3-8y3-z3-6xyz, (3)a2+b2+c2-2bc+2ca-2ab, (4)a7-a5b2+a2b5-b7． 解 (1)原式=-2xn-1yn(x4n-2x2ny2+y4) =-2xn-1yn[(x2n)2-2x2ny2+(y2)2] =-2xn-1yn(x2n-y2)2 =-2xn-1yn(xn-y)2(xn+y)2． (2)原式=x3+(-2y)3+(-z)3-3x =(x2+4y2+z2+2xy+xz-2yz)． (3)原式=(a2-2ab+b2)++c2 ＝(a-b)2+2c(a-b)+c2 =2． 本小题可以稍加变形.直接使用公式(5).解法如下: 原式=a2+(-b)2+c2+2 =2 (4)原式=(a7-a5b2)+(a2b5-b7) =a5(a2-b2)+b5(a2-b2) =(a2-b2)(a5+b5) =(a4-a3b+a2b2-ab3+b4) =(a+b)2(a-b)(a4-a3b+a2b2-ab3+b4) 例2 分解因式:a3+b3+c3-3abc． 本题实际上就是用因式分解的方法证明前面给出的公式(6)． 分析 我们已经知道公式 (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3 的正确性.现将此公式变形为 a3+b3=(a+b)3-3ab(a+b)． 这个式也是一个常用的公式.本题就借助于它来推导． 解 原式=(a+b)3-3ab(a+b)+c3-3abc =［(a+b)3+c3］-3ab =2-c(a+b)+c2]-3ab =(a2+b2+c2-ab-bc-ca)． 说明 公式(6)是一个应用极广的公式.用它可以推出很多有用的结论.例如:我们将公式(6)变形为 a3+b3+c3-3abc 显然.当a+b+c=0时.则a3+b3+c3=3abc,当a+b+c＞0时.则a3+b3+c3-3abc≥0.即a3+b3+c3≥3abc.而且.当且仅当a=b=c时.等号成立． 如果令x=a3≥0.y=b3≥0.z=c3≥0.则有 等号成立的充要条件是x=y=z．这也是一个常用的结论． 例3 分解因式:x15+x14+x13+-+x2+x+1． 分析 这个多项式的特点是:有16项.从最高次项x15开始.x的次数顺次递减至0.由此想到应用公式an-bn来分解． 解 因为 x16-1=(x-1)(x15+x14+x13+-x2+x+1). 所以 说明 在本题的分解过程中.用到先乘以的技巧.这一技巧在等式变形中很常用． 【查看更多】

     

    题目列表(包括答案和解析)

    问题1：同学们已经体会到灵活运用乘法公式给整式乘法及多项式的因式分解带来的方便，快捷．相信通过下面材料的学习探究，会使你大开眼界并获得成功的喜悦．
    例：用简便方法计算195×205．
    解：195×205
    =（200-5）（200+5）①
    =2002-52　　　　　　　　　 ②
    =39975
    （1）例题求解过程中，第②步变形是利用______（填乘法公式的名称）．
    （2）用简便方法计算：9×11×101×10001
    问题2：对于形如x2+2xa+a2这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成（x+a）2的形式．但对于二次三项式x2+2xa-3a2，就不能直接运用公式了．
    此时，我们可以在二次三项式x2+2xa-3a2中先加上一项a2，使它与x2+2xa的和成为一个完全平方式，再减去a2，整个式子的值不变，于是有：x2+2xa-3a2=（x2+2ax+a2）-a2-3a2=（x+a）2-4a2=（x+a）2-（2a）2=（x+3a）（x-a）
    像这样，先添一适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”．
    利用“配方法”分解因式：a2-6a+8．

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