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    2．证明整除的基本方法 证明整除常用下列几种方法:分解因式法,反证法．下面举例说明． 例1 证明:三个连续奇数的平方和加1.能被12整除.但不能被24整除． 分析 要证明一个数能被12整除但不能被24整除.只需证明此数等于12乘上一个奇数即可． 证 设三个连续的奇数分别为2n-1.2n+1.2n+3.于是 2+2+2+1 =12(n2+n+1)． 所以 12|[2+2+2]． 又n2+n+1=n(n+1)+1.而n.n+1是相邻的两个整数.必定一奇一偶.所以n(n+1)是偶数.从而n2+n+1是奇数.故 24 [2]． 例2 若x.y为整数.且2x+3y.9x+5y之一能被17整除.那么另一个也能被17整除． 证 设u=2x+3y.v=9x+5y．若17|u.从上面两式中消去y.得 3v-5u=17x．① 所以 17|3v． 因为=1.所以17|v.即17|9x+5y． 若17|v.同样从①式可知17|5u．因为=1.所以17|u.即17|2x+3y． q＞1．求pq的值． 解 若p=q.则 不是整数.所以p≠q．不妨设p＜q.于是 是整数.所以p只能为3.从而q=5．所以 pq=3×5=15． 例4 试求出两两互质的不同的三个自然数x.y.z.使得其中任意两个的和能被第三个数整除． 分析 题中有三个未知数.我们设法得到一些方程.然后从中解出这些未知数． 最小的一个: y|.所以y|2x.于是 数两两互质.所以x=1． 所求的三个数为1.2.3． 例5 设n是奇数.求证: 60|6n-3n-2n-1． 分析 因为60=22×3×5.22.3.5是两两互质的.所以由性质6.只需证明22.3.5能被6n-3n-2n-1整除即可．对于幂的形式.我们常常利用性质8-性质10.其本质是因式分解． 证 60=22×3×5．由于n是奇数.利用性质8和性质10.有 22|6n-2n.22|3n+1. 所以 22|6n-2n-3n-1. 3|6n-3n. 3|2n+1. 所以 3|6n-3n-2n-1.5|6n-1.5|3n+2n. 所以 5|6n-1-3n-2n． 由于22.3.5两两互质.所以 60|6n-3n-2n-1． 我们通常把整数分成奇数和偶数两类.即被2除余数为0的是偶数.余数为1的是奇数．偶数常用2k表示.奇数常用2k+1表示.其实这就是按模2分类．又如.一个整数a被3除时.余数只能是0.1.2这三种可能.因此.全体整数可以分为3k.3k+1.3k+2这三类形式.这是按模3分类．有时为了解题方便.还常把整数按模4.模5.模6.模8等分类.但这要具体问题具体处理． 例6 若整数a不被2和3整除.求证:24|(a2-1)． 分析 因为a既不能被2整除.也不能被3整除.所以.按模2分类与按模3分类都是不合适的．较好的想法是按模6分类.把整数分成6k.6k+1.6k+2.6k+3.6k+4.6k+5这六类．由于6k.6k+2.6k+4是2的倍数.6k+3是3的倍数.所以a只能具有6k+1或6k+5的形式.有时候为了方便起见.也常把6k+5写成6k-1． 证 因为a不被2和3整除.故a具有6k±1的形式.其中k是自然数.所以a2-1=2-1=36k2±12k=12k．由于k与3k±1为一奇一偶(若k为奇数.则3k±1为偶数.若k为偶数.则3k±1为奇数).所以2|k.于是便有24|(a2-1)． 例7 求证:3n+1能被2或22整除.但不能被2的更高次幂整除． 证 按模2分类．若n=2k为偶数.k为正整数.则 3n+1=32k+1=(3k)2+1． 由3k是奇数.(3k)2是奇数的平方.奇数的平方除以8余1.故可设(3k)2=8l+1.于是 3n+1=8l+2=2． 4l+1是奇数.不含有2的因数.所以3n+1能被2整除.但不能被2的更高次幂整除． 若n=2k+1为奇数.k为非负整数.则 3n+1=32k+1+1=3·(3k)2+1 =3． 由于6l+1是奇数.所以此时3n+1能被22整除.但不能被2的更高次幂整除． 在解决有些整除性问题时.直接证明较为困难.可以用反证法来证． 例8 已知a.b是整数.a2+b2能被3整除.求证:a和b都能被3整除． 证 用反证法．如果a.b不都能被3整除.那么有如下两种情况: (1)a.b两数中恰有一个能被3整除.不妨设3|a.3b．令a=3m.b=3n±1.于是 a2+b2=9m2+9n2±6n+1 =3(3m2+3n2±2n)+1. 不是3的倍数.矛盾． (2)a.b两数都不能被3整除．令a=3m±1.b=3n±1.则 a2+b2=2 =9m2±6m+1+9n2±6n+1 =3+2. 不能被3整除.矛盾． 由此可知.a.b都是3的倍数． 例9 设p是质数.证明:满足a2=pb2的正整数a.b不存在． 证 用反证法．假定存在正整数a.b.使得 a2=pb2 令(a.b)=d.a=a1d.b=b1d.则(a1.b1)=1．所以 与(a1.b1)=1矛盾． 例10 设p.q均为自然数.且 求证:29|p． 证 注意到29是质数．令a=10×11×-×19． 所以 ap=29q·b. 29|a·p.29是质数.且29a.所以29|p． 练习二十四 【查看更多】

     

    题目列表(包括答案和解析)

    在解决数学问题时，我们经常要回到基本定义与基本方法去思考．试利用方程的解的定义及解方程组的基本方法解决以下问题：
    已知a是关于x的方程x2-（2k+1）x+4=0及3x2-（6k-1）x+8=0的公共解，求a和k的值．

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    观察探究：
    小明同学非常细心，火柴盒在桌面上倒下，便启迪他得到很多发现．如图，火柴盒的一个侧面ABCD逆时针方向倒下后到AB′C′D′的位置，连接CC′．设AB=b，BC=a，AC=c．
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    （1）他在学习了因式分解后，意外地发现，代数式a2-b2表示了图中一个长方形的面积，请你把这个长方形画完整，并把它指出来；
    （2）学过勾股定理之后，他又惊奇地发现，利用四边形BCC′D′的面积可以得到证明勾股定理的新方法，请你利用这个四边形的面积证明勾股定理：a2+b2=c2．

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    已知a是关于x的方程x2-（2k+1）x+4=0及3x2-（6k-1）x+8=0的公共解，求a和k的值．

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    已知a是关于x的方程x2-（2k+1）x+4=0及3x2-（6k-1）x+8=0的公共解，求a和k的值．

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    （1）他在学习了因式分解后，意外地发现，代数式a2-b2表示了图中一个长方形的面积，请你把这个长方形画完整，并把它指出来；
    （2）学过勾股定理之后，他又惊奇地发现，利用四边形BCC′D′的面积可以得到证明勾股定理的新方法，请你利用这个四边形的面积证明勾股定理：a2+b2=c2．

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