重点与难点:重点是掌握公式(a+b)(a-b)=a2-b2,(a±b)2=a2±2ab+b2.难点是公式中字母的广泛含义. 教材解读精华要义数学与生活如图15-16所示.边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形. 中阴影部分的面积, (2)某同学将阴影部分拼成了一个长方形.如图15-16(2)所示.这个长方形的长和宽分别是多少?请你表示出它的面积? 的结果.你能发现什么? 思考讨论由图15-16(1)可知.阴影部分的面积为(a2-b2).由图15-16(2)可知.拼成长方形的长为(a+b),宽为(a-b),其面积为(a+b)(a-b).由于图拼成的.故两图面积相等.所以有(a+b)(a-b)=a2-b2那么如何证明呢? 知识详解知识点1 平方差公式及其导出平方差公式是指(a+b)(a-b)=a2-b2. 这就是说.两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差. 课本中本节的开始是先让同学们做几个多项式相乘的小题. 经过计算.同学们首先发现.四个小题所得到的结果有惊人的相同之处:每个小题的结果都只含有两项.而且都可以写成两个数的平方差形式. 为什么会有这些相同之处呢?同学们会想到.这是由于每个小题中的两个多项式都有非常特殊的关联:它们的第一项都相同.第二项的绝对值相同.但是符号相反. 归纳类似的多项式相乘的式子.就得到了平方差公式(a+b)(a-b)=a2-a2. 直接计算也可以得到这个公式:(a+b)(a-b)=a2-ab+ab-b2=a2-b2. [注意] a,b仅仅是一个符号.它们可以表示数.也可以表示式子.只是它们的和与差的积.一定等于它们的平方差. 认识公式的特征至关重要. 平方差公式的特征:公式的左边是两个数的和乘以这两个数的差.而公式的右边恰好是这两个数的平方差. 知识规律小结 (1)在应用公式(a+b)(a-b)=a2-b2时.需仔细识别公式中的a与b.例如:中.把2x看成a.3看成b,中.把-m看成a.2n看成b,(3a-2b)(-3a-2b)中,把-2b看成a,3a看成b.因此有: 2-32=4x2-9, 2-(2n)2=m2-4n2, (3a-2b)(-3a-2b)=(-2b)2-(3a)2=4b2-9a2. (2)在51×49中.a==50.b==1. ∴51×49==502-12=2499. 知识点2 完全平方公式及其推导探究交流计算下列各式.你能发现什么规律? 2== , 2= , 2== , 2= . 点拨两个数和的平方.等于这两个数的平方和加上这两个数乘积的2倍. 一般地.我们有: (a+b)2= a2+2ab+b2,(a-b)2=a2-2ab+b2. 两数和的平方.等于它们的平方和.加它们的积的2倍.这两个公式叫做完全平方公式. 例如:2=(2x)2+2·2x·3+32=4x2+12x+9. 2=(3m)2-2·3m·4+42=9m2-24m+16. 在记忆公式(a±b)2=a2±2ab+b2时.要在理解和比较的基础上记忆.两个公式相同之处在于两个数的平方和.不同之处在于中间项的符号不同.计算时要注意.如:2=x2-2·x·2y+(2y)2=x2-4xy+4y2. 说明完全平方公式.既可以用多项式乘法进行推导: (a+b)(a+b)=a·a+a·b+b·a+b2= a2+2ab+b2. 同时.也可以用观察情境来推导.如图15-17所示. 由图(1)可知.(a+b)2=a2+2ab+b2. 由图(2)可知.(a-b)2=a2-2ab+b2. 知识点3 添括号法则添括号时.如果括号前面是正号.括到括号里的各项都不改变符号, 如果括号前面是负号.括到括号里的各项都改变符号. [说明] 添括号法则与去括号法则是一致的.添括号正确与否.可用去括号进行检验. 知识点4 公式(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab 公式(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab的推导可以用多项式乘法公式椎导. (x+a)(x+b) =x2+bx+ax+ab =x2+(a+b)x+ab. 例如:=x2+(2+3)x+2×3=x2+5x+6. =x2+=x2-x-6. [注意] 注意a与b的值.该公式在多项式乘法中广泛应用. 典例剖析师生互动基本知识应用题本节知识的基础应用主要包括:(1)会推导平方差公式,(2)会推导完全平方公式.并能运用公式进行简单的计算,(3)掌握公式(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab. 例1 运用平方差公式计算. (b+2a)(2a-b),. 中.把3x看作a.2看作b,(2)中.2 a看作a.b看作b,(3)中.-x看作 a.2y看作b. 解:2-22=9x2-4. (2)(b+2a)(2a-b)=(2a)2-b2=4a2-b2. 2-(2y)2=x2-4y2 例2 运用完全平方公式计算. 2, (2)(y-)2. 主要是正确地应用公式. 解:2=(4m)2+2·4m·n+n2=16m2+8mn+n2. (2)(y-)2=y2-2y·+()2=y2-y+. [说明] 在应用公式(a+b)(a-b)=a2-b2和2=a2±2ab+b2时.关键是看清题目中哪一个是公式中的a.哪一个是公式中的b. 例3 运用乘法公式计算. 1022, (3)992. 灵活应用乘法公式计算.中.1022=2,(3)中.992=2.然后利用公式计算即可. 解:=1002-22=10000-4=9996. (2)1022=2=1002+2×100×2+22=10000+400+4=10404. (3)992=2=1002-2×100×1+12=10000-200+1=9801. 例4 计算. . 本题主要考查公式(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab的应用. 解: =m2+[·3 =m2-2m-15. =(2x)2+[·(-4) =4x2-14x+12. 综合应用题本节知识的综合应用主要包括:(1)公式之间的综合应用,(2)与方程的综合应用,(3)与不等式的综合应用. 例5 计算. , (2)(a+b+c)2, (y+5). 本题主要考查灵活应用整式乘法公式进行计算.(1)题把x看作公式中的a.看成公式中的b,(2)题把(a+b)看成公式中的a.c看成公式中的b,(3)题运用公式(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab. 解:=[x+] =x2-2=x2-(4y2-12y+9) =x2-4y2+12y-9. (2)(a+b+c)2=[(a+b)+c]2=(a+b)2+2(a+b)c+c2 =a2+2ab+b2+2ac+2bc+c2. (y+5)=(y2-4)-(y2+4y-5) =y2-4-y2-4y+5=-4y+1. 例6 计算. (b2+4)(2a-b)(2a+b)-(3a-2b)(3a+2b). 题用乘法的交换律和结合律,(2)题用平方差公式和整式减法. 解:(b2+4)(b2+4) =(b2-4)(b2+4)=b4-16. (2)(2a-b)(2a+b)-(3a-2b)(3a+2b)=(4a2-b2)-(9a2-4b2) =4a2-b2-9a2+4b2=-5a2+3b2. 学生做一做计算. (1)(-x)(+x2)(x+), 2-. 老师评一评 (1)原式=-x4, (2)原式=6x+13. 例7 解方程 2(x-2)+x2=+x 熟练应用整式的乘法公式. 解:2x-4+x2=x2-1+x. 2x+x2-x2-x=-1+4. ∴x=3. 例8 解不等式x. 考查应用整式乘法及平方差公式去括号. 解:x2-3x＞x2-49. x2-3x-x2＞-49. -3x＞-49. ∴x＜. 探索与创新题主要考查灵活应用所学公式解决现实问题. 例9 计算19982-1997×1999. 同时应用完全平方公式和平方差公式化简.其中.1997×1999=. 解:19982-1997×1999 =19982- =19982-(19982-1) =19982-19982+1 =1. 学生做一做计算. 老师评一评原式= = = = =2003. 例10 计算(2+1)(22+1)(24+1)-(22n+1). 要计算本题.一般先计算每一个括号内的.然后再求它们的积.这样做是复杂的.也是不必要的.我们不妨考虑用平方差公式来解决.即在原式上乘以即可. 解:原式= =(22-1)(22+1)(24+1)-(22n+1) =(24-1)(24+1)-(22n+1) =(22n)2-1 =24n-1. 学生做一做计算. (1)3·(22+1)(24+1)-(232+1)+1, (2)1002-992+982-972+962-952+-+22-12, (3)(1-)(1-)(1-)-(1-)(1-). 老师评一评 (1)由例10可以得到提示. (22+1)(24+1)-(232+1) = =[(232)2-1]· =(264-1). ∴原式=3·(264-1)+1=264-1+1=264. (2)由平方差公式和等差数列公式Sn=可知. 原式=++ =100+99+98+97+96+95+-+4+3+2+1 = =5050. (3)由平方差公式和分数乘法公式可知. 原式=(1+)(1-)(1+)(1-)(1+)(1-)-(1+)·(1-)(1+)(1-) =××××××-×××× =· =. 例11 已知(a+b)2=7.(a-b)2=4.求a2+b2.ab的值. 由已知(a+b)2=7.(a-b)2=4.就目前的知识水平.具体求出a和b的值是比较困难的.但由整式的乘法公式可以将已知化成: a2+2ab+b2=7.① a2-2ab+b2=4.② 由①+②可以求出a2+b2.由①-②可以求出ab. 解:由题意可知. a2+2ab+b2=7.① a2-2ab+b2=4.② ①+②得2(a2+b2)=11.∴a2+b2=. ①-②得4ab=3.∴ab=. 小结 (1)由两数和的平方和两数差的平方.可以通过两式的加减求出两数的平方和与两数的积.同理.已知两数和的平方或两数差的平方.以及两数的平方和.可以求出两数的积. (2)由平方差公式.也可以进行变形.例如:已知a2-b2=14.a+b=7.那么a-b=2. 例12 观察下列各式: =x2-1 (x-1)(x2+x+1)=x3-1 (x-1)(x3+x2+x+1)=x4-1 根据前面各式的规律可得: (x-1)(xn+xn-1+xn-2+-+x+1)= . 由已知各式可以发现: (x-1)(xn+xn-1+xn-2+-+x+1)=xn+1-1. 小结与上例类似地有: 由(a-b)(a+b)=a2-b2 (a-b)(a2+ab+b2)=a3-b3 (a-b)(a3+a2b+ab2+b3)=a4-b4 -- 可以得出(a-b)(an+an-1b+an-2b2+-+bn)=an+1-bn+1 学生做一做观察下列各式: 1·2·3·4+1=52 2·3·4·5+1=112 3·4·5·6+1=192 -- (1)请写出一个具有普遍性的结论.并给出证明, 计算2000·2001·2002·2003+1. 老师评一评 +1=(n2+3n+1)2.推导如下: ∵n+1 =[n]+1 =(n2+3n)(n2+3n+2)+1 =(n2+3n)2+2(n2+3n)+1 =(n2+3n+1)2. ∴n+1=(n2+3n+1)2. (2)当n=2000时. (n2+3n+1)2=(20002+3×2000+1)2=40060012. ∴2000·2001·2002·2003+1=40060012. 易错与疑难题例13 计算. , (2)(a+b)2(a-b)2-(a2+b2)(a-b). 错解: =[2x+] =4x2-2. (2)(a+b)2(a-b)2-(a2+b2)(a-b) =[(a+b)(a-b)]2-[(a2)2-(b2)2] =(a2-b2)2-(a4-b4) =(a4-b4)-(a4-b4) =0. 小题的两个括号中.2x与10是相同的部分.y与-y及-z与z都互为相反数.分组结合后可利用平方差公式. 第(2)小题中.(a+b)2(a-b)2在逆用积的乘方性质后可利用平方差公式.(a2+b2)(a-b).则需利用多项式的运算法则计算. 正解: =[-(y-z)] =2-(y-z)2 =4x2-y2-z2+10x+2yz+100. (2)(a+b)2(a-b)2-( a2+b2)(a-b) =[(a+b)(a-b)]2-(a3+ab2-a2b-b3) =(a2-b2)2-a3-ab2+a2b+b3 =a4-a3-2a2b2+a2b-ab2+b3+b4. 小结错解第(1)小题是在添括号时发生符号错误.错解第(2)小题的错误有二:一是只凭想象而无根据地用a4-b4代替(a2-b2)2.其实这二者并不相等,二是计算(a2+b2)(a-b)时.在不具备使用平方差公式的条件下.错误地使用了这个公式. 应该牢固地掌握公式的特征.解题时每一步都必须有理有据.包括严防发生符号错误. 中考展望点击中考中考命题总结与展望本节知识在中考中多以填空.选择题的形式出现.也有少部分的化简求值题及与解方程.解不等式和函数知识结合在一起的综合题. 中考试题预测例1 若a的值使得x2+4x+a=(x+2)2-1成立.则a的值为( ) A.5 B.4 C.3 D.2 因为x2+4x+a=(x+2)2-1.所以x2+4x+a=x2+4x+3.因此.a=3.故正确答案为C项. 例2 已知x+y=1.那么x2+xy+y2的值为 . 由x2+xy+y2得x2+xy+y2=(x2+2xy+y2)= (x+y)2.又由于x+y=1.所以x2+xy+y2=(x+y)2=×12=. 答案: 例3 若+2=0.则x2+y2的值为( ) A.13 B.26 C.28 D.37 本题主要考查灵活应用完全平方公式及其变式.由绝对值和平方的非负性可得 ∴ ∴x2+y2=(x+y)2-2xy=52-2×6=13.因此.正确答案为A项. 例4 如图15-18所示的是用4个相同的小矩形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案.已知该图案的面积为49.小正方形的面积为4.若用x.y表示小矩形的两边长.请观察图案.指出以下关系式中.不正确的是( ) A.x+y=7 B.x-y=2 C.4xy+4=49 D.x2+y2=25 由图示可以发现: (x+y)2=4xy+(x-y)2. 并且(x+y)2=49.(x-y)2=4. 所以x+y=7.x-y=2.4xy+4=49. 而x2+y2=[(x+y)2+(x-y)2]==×53≠25. 故关系式不正确的是D. 答案:D 例5 方程组的解为 . 本题主要考查平方差公式的灵活应用. 因为x2-y2=.且x+y=5.所以x-y=3. 所以原方程组可以化为所以 ∴原方程组的解为课堂小结本节归纳【查看更多】

题目列表(包括答案和解析)

某市东城区2011年中考模拟考的总分（均为整数）成绩汇总如下表：

成绩	461以下	461 到 470	471 到 480	481 到 490	491 到 500	501 到 510	511 到 520	521 到 530	531 到 540	541 到 550	551 到 560	561 到 570	571 到 580	580以上	合计
人数	628	88	110	98	120	135	215	236	357	380	423	356	126	28	3300

（1）所有总分成绩的中位数位于（B　　）
A.521到530；B.531到540；C.541到550；D.551到560
（2）区招生办在告知学生总分成绩的同时，也会将学生的定位分告诉学生，以便学生后期的复习迎考，其中学生定位分的计算公式如下：

学生总分名次×100

总人数

所得结果的整数部分（总分名次是按高到低排序），如学生甲的总分名次是356名，由

356×100

3300

=10.8，则他的定位分是10．如果该区小杰同学的定位分是38，那么他在区内的总分名次n的范围是

；
（3）下图是该区2011年本区内各类高中与高中阶段学校的招生人数计

划图：
根据以往的经验，区的中考模拟考的成绩与最终的学生中考成绩基本保持一致，那么第（2）题中小杰希望通过后阶段的努力，争取考入市重点高中（录取总分按市重点高中、区重点高中、普通完中与中专职校依次下降），你估计小杰在现在总分成绩上大致要提高

分．

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（本题10分）某市东城区2011年中考模拟考的总分（均为整数）成绩汇总如下表：

（1）所有总分成绩的中位数位于（）；

A．521到530

B．531到540

C．541到550

D．551到560

（2）区招生办在告知学生总分成绩的同时，也会将学生的定

位分告诉学生，以便学生后期的复习迎考，其中学生定位分的计算公式如下：

所得结果的整数部分（总分名次是按高到低排序），如学生甲的总分名次是356名，由

，则他的定位分是10.如果该区小杰同学的定位分是38，那么他在区内的总分名次n的范围是_______；
（3）下图是该区2011年本区内各类高中与高中阶段学校的招生人数计划图：

根据以往的经验，区的中考模拟考的成绩与最终的学生中考成绩基本保持一致，那么第（2）题中小杰希望通过后阶段的努力，争取考入市重点高中（录取总分按市重点高中、区重点高中、普通完[来中与中专职校依次下降），你估计小杰在现在总分成绩上大致要提高________分.

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（本题10分）某市东城区2011年中考模拟考的总分（均为整数）成绩汇总如下表：

（1）所有总分成绩的中位数位于（）；

A．521到530

B．531到540

C．541到550

D．551到560

（2）区招生办在告知学生总分成绩的同时，也会将学生的定位分告诉学生，以便学生后期的复习迎考，其中学生定位分的计算公式如下：

所得结果的整数部分（总分名次是按高到低排序），如学生甲的总分名次是356名，由

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某市东城区2011年中考模拟考的总分（均为整数）成绩汇总如下表：

成绩	461以下	461 到 470	471 到 480	481 到 490	491 到 500	501 到 510	511 到 520	521 到 530	531 到 540	541 到 550	551 到 560	561 到 570	571 到 580	580以上	合计
人数	628	88	110	98	120	135	215	236	357	380	423	356	126	28	3300

（1）所有总分成绩的中位数位于（B ）
A.521到530；B.531到540；C.541到550；D.551到560
（2）区招生办在告知学生总分成绩的同时，也会将学生的定位分告诉学生，以便学生后期的复习迎考，其中学生定位分的计算公式如下：

所得结果的整数部分（总分名次是按高到低排序），如学生甲的总分名次是356名，由

，则他的定位分是10．如果该区小杰同学的定位分是38，那么他在区内的总分名次n的范围是______；
（3）下图是该区2011年本区内各类高中与高中阶段学校的招生人数计划图：
根据以往的经验，区的中考模拟考的成绩与最终的学生中考成绩基本保持一致，那么第（2）题中小杰希望通过后阶段的努力，争取考入市重点高中（录取总分按市重点高中、区重点高中、普通完中与中专职校依次下降），你估计小杰在现在总分成绩上大致要提高______分．

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某市东城区2011年中考模拟考的总分（均为整数）成绩汇总如下表：
成绩 461以下 461
到
470 471
到
480 481
到
490 491
到
500 501
到
510 511
到
520 521
到
530 531
到
540 541
到
550 551
到
560 561
到
570 571
到
580 580以上合计
人数 628 88 110 98 120 135 215 236 357 380 423 356 126 28 3300
（1）所有总分成绩的中位数位于（B　　）
A.521到530；B.531到540；C.541到550；D.551到560
（2）区招生办在告知学生总分成绩的同时，也会将学生的定位分告诉学生，以便学生后期的复习迎考，其中学生定位分的计算公式如下： $数学公式$ 所得结果的整数部分（总分名次是按高到低排序），如学生甲的总分名次是356名，由 $数学公式$ ，则他的定位分是10．如果该区小杰同学的定位分是38，那么他在区内的总分名次n的范围是；
（3）下图是该区2011年本区内各类高中与高中阶段学校的招生人数计划图：
根据以往的经验，区的中考模拟考的成绩与最终的学生中考成绩基本保持一致，那么第（2）题中小杰希望通过后阶段的努力，争取考入市重点高中（录取总分按市重点高中、区重点高中、普通完中与中专职校依次下降），你估计小杰在现在总分成绩上大致要提高分．

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