相似三角形的识别 (1)如果一个三角形的两角分别与另一个三角形的两角对应相等.那么这两个三角形相似. (2)如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例.并且夹角相等.那么这两个三角形相似. (3)如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应成比例.那么这两个三角形相似. [典型例题] 例1. 如图.∠1＝∠2＝∠3.图中相似三角形有( )对. 答:4对例2. 如图.已知:△ABC.△DEF.其中∠A＝50°.∠B＝60°.∠C＝70°.∠D＝40°.∠E＝60°.∠F＝80°.能否分别将两个三角形分割成两个小三角形.使△ABC所分成的每个三角形与△DEF所分成的每个三角形分别对应相似? 如果可能.请设计一种分割方案,若不能.说明理由. 解: 例3. 如图所示.四边形ABCD是平行四边形.点F在BA的延长线上.连结CF交AD于点E. (1)求证:△CDE∽△FAE, (2)当E是AD的中点.且BC＝2CD时.求证:∠F＝∠BCF. 命题意图:相似三角形的识别.特征在解题中的应用. 解析:由AB∥DC得:∠F＝∠DCE.∠EAF＝∠D ∴△CDE∽△FAE .又E为AD中点 ∴DE＝AE.从而CD＝FA.结合已知条件.易证 BF＝BC.∠F＝∠BCF 解:(1)∵四边形ABCD是平行四边形 ∴AB∥CD ∴∠F＝∠DCE.∠EAF＝∠D ∴△CDE∽△FAE (2)∵E是AD中点.∴DE＝AE 由(1)得: ∴CD＝AF ∵四边形ABCD是平行四边形 ∴AB＝CD ∴AB＝CD＝AF ∴BF＝2CD.又BC＝2CD ∴BC＝BF ∴∠F＝∠BCF 思路探究:平行往往是证两个三角形相似的重要条件.利用比例线段也可证明两线段相等. 例4. 在梯形ABCD中.∠A＝90°.AD∥BC.点P在线段AB上从A向B运动. (1)是否存在一个时刻使△ADP∽△BCP, (2)若AD＝4.BC＝6.AB＝10.使△ADP∽△BCP.则AP的长度为多少? 解:(1)存在 (2)若△ADP∽△BCP.则设或或或 ∴AP长度为4或6 例5. 如图.在平行四边形ABCD中.E为CD上一点.DE:CE＝2:3.连结AE.BE.BD.且AE.BD交于点F.则( ) A. 4:10:25 B. 4:9:25 C. 2:3:5 D. 2:5:25 思路点拨:运用与面积相关知识.把面积比转化为线段比. ∴选A 例6. 如图.有一批形状大小相同的不锈钢片.呈直角三角形.已知∠C＝90°.AB＝5cm.BC＝3cm.试设计一种方案.用这批不锈钢片裁出面积达最大的正方形不锈钢片.并求出这种正方形不锈钢片的边长. 思路点拨:要在三角形内裁出面积最大的正方形.那么这正方形所有顶点应落在△ABC的边上.先画出不同方案.把每种方案中的正方形边长求出. 解:如图甲.设正方形EFGH边长为x.则AC＝4 而CD×AB＝AC×BC＝.得又△CEH∽△CAB.得于是.解得: 如图乙.设正方形CFGH的边长为y cm 由GH∥AC.得: 即.解得: 即应如图乙那样裁剪.这时正方形面积达最大.它的边长为例7. 如图.已知直角梯形ABCD中.∠A＝∠B＝90°.设..作DE⊥DC.DE交AB于点E.连结EC. (1)试判断△DCE与△ADE.△DCE与△BCE是否分别一定相似?若相似.请加以证明. (2)如果不一定相似.请指出a.b满足什么关系时.它们就能相似? 解:(1)△DCE与△ADE一定相似.△DCE与△BCE不一定相似.分别延长BA.CD交于F点由△FAD∽△FBC.得: 于是FD＝DC.从而可证△FED≌△CED 得∠AED＝∠DEC 所以△DEC∽△AED (2)作CG⊥AD交AD延长线于G. 由△AED∽△GDC.有.得要使△DCE与△BCE相似.那么一定成立即.得也就是当时.△DCE与△BCE一定相似. [模拟试题] 【查看更多】

在等边△ABC中，点D为AC上一点，连接BD，直线l与线段BA、BD、BC分别相交于点E、P、F，且∠BPF=60°．
（1）如图1，写出图中所有与△BDC相似的三角形，并选择其中一对给予证明；
（2）若直线l向右平移，与线段BA、BD、BC或其延长线分别相交于E、P、F，请在图2中画出一个与图1位置不尽相同的图形（其它条件不变），此时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请写出来（不证明），若不成立，请说明理由；

（3）探究：如图1，当BD满足什么条件时（其它条件不变），△BPE的面积是△BPF的面积的2倍？请写出探究结果，并说明理由．（说明：结论中不得含有未标识的字母）．

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在等边△ABC中，点D为AC上一点，连接BD，直线l与线段BA、BD、BC分别相交于点E、P、F，且∠BPF=60°．
（1）如图1，写出图中所有与△BDC相似的三角形，并选择其中一对给予证明；
（2）若直线l向右平移，与线段BA、BD、BC或其延长线分别相交于E、P、F，请在图2中画出一个与图1位置不尽相同的图形（其它条件不变），此时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请写出来（不证明），若不成立，请说明理由；
（3）探究：如图1，当BD满足什么条件时（其它条件不变），△BPE的面积是△BPF的面积的2倍？请写出探究结果，并说明理由．（说明：结论中不得含有未标识的字母）．

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在等边△ABC中，点D为AC上一点，连接BD，直线l与线段BA、BD、BC分别相交于点E、P、F，且∠BPF=60°．
（1）如图1，写出图中所有与△BDC相似的三角形，并选择其中一对给予证明；
（2）若直线l向右平移，与线段BA、BD、BC或其延长线分别相交于E、P、F，请在图2中画出一个与图1位置不尽相同的图形（其它条件不变），此时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请写出来（不证明），若不成立，请说明理由；

（3）探究：如图1，当BD满足什么条件时（其它条件不变），△BPE的面积是△BPF的面积的2倍？请写出探究结果，并说明理由．（说明：结论中不得含有未标识的字母）．

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在等边△ABC中，点D为AC上一点，连结BD，直线l与线段BA、BD、BC分别相交于点E、P、F，且∠BPF=60°。

（1）如图1，写出图中所有与△BDC相似的三角形，并选择其中一对给予证明；
（2）若直线向右平移，与线段BA、BD、BC或其延长线分别相交于E、P、F，请在图2中画出一个与图1位置不尽相同的图形（其它条件不变），此时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请写出来（不证明），若不成立，请说明理由；
（3）探究：如图1，当BD满足什么条件时（其它条件不变），△BPE的面积是△BPF的面积的2倍？请写出探究结果，并说明理由。（说明：结论中不得含有未标识的字母）

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在等边△ABC中，点D为AC上一点，连接BD，直线l与线段BA、BD、BC分别相交于点E、P、F，且∠BPF=60°．
（1）如图1，写出图中所有与△BDC相似的三角形，并选择其中一对给予证明；
（2）若直线l向右平移，与线段BA、BD、BC或其延长线分别相交于E、P、F，请在图2中画出一个与图1位置不尽相同的图形（其它条件不变），此时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请写出来（不证明），若不成立，请说明理由；

（3）探究：如图1，当BD满足什么条件时（其它条件不变），△BPE的面积是△BPF的面积的2倍？请写出探究结果，并说明理由．（说明：结论中不得含有未标识的字母）．

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