若椭圆C₁：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）过点（2，1），离心率为

2

2

，F₁，F₂分别为其左、右焦点．
（Ⅰ）若点P与F₁，F₂的距离之比为

1

3

，求直线x-

2

y+

3

=0被点P所在的曲线C₂截得的弦长；
（Ⅱ） 设A₁，A₂分别为椭圆C₁的左、右顶点，Q为C₁上异于A₁，A₂的任意一点，直线A₁Q交C₁的右准线于点M，直线A₂Q交C₁的右准线于点N，求证MF₂⊥NF₂．

定义：

n

i=1

ai=a1+a2+a3+…+an，设函数f(x)=lg

m-1 i=1 ix+mxa

m

，其中∈R，是给定的正整数，且m≥2，如果不等式f（x）＞（x-1）lgm在区间[1，+∞）有解，则实数的取值范围是．

设M={（x，y）|y=

2a2-x2

，a＞0}，N={（x，y）|(x-1)2+(y-

3

)2=a2，a＞0}，且M∩N≠∅，求a的最大值和最小值．

（2013•蓟县二模）已知函数f（x）=-

1

3

x3+

1

2

(2a+1)x2-2ax+1，其中a为实数．
（Ⅰ）当a≠

1

2

时，求函数f（x）的极大值点和极小值点；
（Ⅱ） 若对任意a∈（2，3）及x∈[1，3]时，恒有ta²-f（x）＞

3

2

成立，求实数t的取值范围．
（Ⅲ）已知g（x）=a²x²+ax+1，m（x）=

4

3

x3-(a2+

3

2

)x2+（2a+5）x-3，h（x）=f（x）+m（x），设函数q（x）=

g(x)，x≥0 h(x)，x＜0.

是否存在a，对任意给定的非零实数x₁，存在惟一的非零实数x₂（x₂≠x₁），使得q′（x₂）=q′（x₁）成立？若存在，求a的值；若不存，请说明理由．

设m＞3，对于有穷数列{a_n}（n=1，2，…，m），令b_k为a₁，a₂，…a_k中的最大值，称数列{b_n}（为{a_n}的“创新数列”．数列{b_n}（中不相等项的个数称为{a_n}的“创新阶数”．例如数列2，1，3，7，5的创新数列为2，2，3，7，7，创新阶数为3．考察自然数 1，2…m（m＞3）的所有排列，将每种排列都视为一个有穷数列{c_n}．
（1）若m=5，写出创新数列为3，4，4，5，5的所有数列{c_n}；
（2）是否存在数列{c_n}，使它的创新数列为等差数列？若存在，求出所有的数{c_n}，若不存在，请说明理由．