6．如图,α⊥β,α∩β=l , A∈α, B∈β,点A在直线l 上的射影为A1, 点B在l的射影为B1,已知AB=2,AA1=1, BB1=, 求: (I) 直线AB分别与平面α,β所成角的大小——青夏教育精英家教网—

6．如图,α⊥β,α∩β=l , A∈α, B∈β,点A在直线l 上的射影为A1, 点B在l的射影为B1,已知AB=2,AA1=1, BB1=, 求: (I) 直线AB分别与平面α,β所成角的大小, (II)二面角A1-AB-B1的大小. [解] 解法一:(Ⅰ)如图, 连接A1B,AB1, ∵α⊥β, α∩β=l ,AA1⊥l, BB1⊥l, ∴AA1⊥β, BB1⊥α. 则∠BAB1,∠ABA1分别是AB与α和β所成的角. Rt△BB1A中, BB1= , AB=2, ∴sin∠BAB1 = = . ∴∠BAB1=45°. Rt△AA1B中, AA1=1,AB=2, sin∠ABA1= = , ∴∠ABA1= 30°. 故AB与平面α,β所成的角分别是45°,30°. (Ⅱ)∵BB1⊥α, ∴平面ABB1⊥α. 在平面α内过A1作A1E⊥AB1交AB1于E.则A1E⊥平面AB1B.过E作EF⊥AB交AB于F.连接A1F.则由三垂线定理得A1F⊥AB. ∴∠A1FE就是所求二面角的平面角. 在Rt△ABB1中,∠BAB1=45°. ∴AB1=B1B=. ∴Rt△AA1B中. A1B== = . 由AA1·A1B=A1F·AB得 A1F== = , ∴在Rt△A1EF中.sin∠A1FE = = . ∴二面角A1-AB-B1的大小为arcsin. 解法二:(Ⅰ)同解法一. (Ⅱ) 如图,建立坐标系, 则A1,B1.在AB上取一点F,则存在t∈R,使得=t , 即(x,y,z1)=t(,1, 1), ∴点F的坐标为(t, t,1t).要使⊥,须·=0, 即(t, t,1t) ·(,1,1)=0, 2t+t(1t)=0. 解得t= . ∴点F的坐标为. 设E为AB1的中点,则点E的坐标为. ∴=(,,). 又·=(,-,)·(,1, 1)= =0, ∴⊥, ∴∠A1FE为所求二面角的平面角. 又cos∠A1FE= = = = = , ∴二面角A1-AB-B1的大小为arccos. 【查看更多】

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如图α⊥β,α∩β=l,A∈α,B∈β,点A在直线l上的射影为A₁，点B在l上的射影为B₁，已知AB=2，AA₁=1，BB₁=2，求：