23．如图.在直三棱柱中..分别为.的中点. (I)证明:ED为异面直线与的公垂线, (II)设求二面角的大小. [解] 解法一: (Ⅰ)设O为AC中点.连接EO.BO.则EO∥＝C1C. ——青夏教育精英家教网—

23．如图.在直三棱柱中..分别为.的中点. (I)证明:ED为异面直线与的公垂线, (II)设求二面角的大小. [解] 解法一: (Ⅰ)设O为AC中点.连接EO.BO.则EO∥＝C1C. 又C1C∥＝B1B.所以EO∥＝DB.EOBD为平行四边形.ED∥OB． ∵AB＝BC.∴BO⊥AC. 又平面ABC⊥平面ACC1A1. BO面ABC. 故BO⊥平面ACC1A1. ∴ED⊥平面ACC1A1. ED⊥AC1. ED⊥CC1. ∴ED⊥BB1.ED为异面直线AC1与BB1的公垂线． (Ⅱ)连接A1E.由AA1＝AC＝AB 可知.A1ACC1为正方形. ∴A1E⊥AC1. 又由ED⊥平面ACC1A1和ED平面ADC1知平面ADC1⊥平面A1ACC1.∴A1E⊥平面ADC1．作EF⊥AD.垂足为F.连接A1F. 则A1F⊥AD.∠A1FE为二面角A1-AD-C1的平面角．不妨设AA1＝2.则AC＝2.AB＝ED＝OB＝1.EF＝＝. tan∠A1FE＝.∴∠A1FE＝60°．所以二面角A1-AD-C1为60°．解法二: (Ⅰ)如图.建立直角坐标系O-xyz.其中原点O为AC的中点．设A(a,0,0).B(0,b,0).B1(0,b,2c)．则C(-a,0,0).C1(-a,0,2c).E(0,0,c).D(0,b,c)．＝(0.b.0).＝(0.0.2c)． ·＝0. ∴ED⊥BB1．又＝(-2a,0,2c). ·＝0. ∴ED⊥AC1. 所以ED是异面直线BB1与AC1的公垂线． (Ⅱ)不妨设A.则B.C.A1. ＝.＝. ·＝0.·＝0.即BC⊥AB.BC⊥AA1.又AB∩AA1＝A. ∴BC⊥平面A1AD．又E.D.C.＝. ·＝0.·＝0.即EC⊥AE.EC⊥ED.又AE∩ED＝E. ∴ EC⊥面C1AD． cos＜.＞＝＝.即得和的夹角为60°．所以二面角A1-AD-C1为60°．【查看更多】

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如图，在直三棱柱中，、分别为、的中点。