已知函数f(x)=lnx，g(x)=1-

a

x

（a为实常数）．
（Ⅰ）当a=1时，求函数?（x）=f（x）-g（x）在定义域上的最小值；
（Ⅱ）若方程e^2f（x）=g（x）在区间[

1

2

，1]上有解，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）若数列{a_n}的通项公式为an=f(

(2n+1)2

n(n+1)

)，它的前n项和为S_n，求证：Sn＞

3

4

n+

1

24

-

1

8(2n+3)

．

设函数y=f（x）的定义域为（0，+∞），且对任意的正实数x，y，均有f（xy）=f（x）+f（y）恒成立．已知f（2）=1，且当x＞1时，f（x）＞0．
（1）求f(

1

2

)的值，试判断y=f（x）在（0，+∞）上的单调性，并加以证明；
（2）一个各项均为正数的数列{a_n}，它的前n项和是S_n，若a₁=3，且f（S_n）=f（a_n）+f（a_n+1）-1（n≥2，n∈N^*），求数列{a_n}的通项公式；
（3）在（2）的条件下，是否存在实数M，使2n•a1•a2…an≥M•

2n+3

•(2a1-1)•(2a2-1)…(2an-1)对于一切正整数n均成立？若存在，求出M的范围；若不存在，请说明理由．