（本题满分12分）已知椭圆的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线相切.

（I）求椭圆的方程；

（II）设P(4,0),A,B是椭圆上关于轴对称的任意两个不同的点，连接交椭圆于另一点，证明直线与轴相交于定点；

（Ⅲ）在（II）的条件下，过点的直线与椭圆交于两点，求的取值范围.

（本题满分12分）

已知动点分别在轴、轴上，且满足，点在线段上，且（是不为零的常数）。设点的轨迹为曲线。

求点的轨迹方程；

若，点是上关于原点对称的两个动点（不在坐标轴上），点，求的面积的最大值。

(本小题满分12分) 已知函数在上是增函数，在上为减函数.

(Ⅰ)求的表达式；

(Ⅱ)若当时，不等式恒成立，求实数的值；

（Ⅲ）是否存在实数使得关于的方程在区间［0，2］上恰好有两个相异的实根，若存在，求实数的取值范围.

（本小题满分12分）已知函数（），直线，是图象的任意两条对称轴，且的最小值为．

（I）求的表达式；

（Ⅱ）将函数的图象向右平移个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象，若关于的方程，在区间上有且只有一个实数解，求实数的取值范围.

（本小题满分12分）

已知以向量v=(1, )为方向向量的直线l过点(0, )，抛物线C： (p>0)的顶点关于直线l的对称点在该抛物的准线上．

（Ⅰ）求抛物线C的方程；

（Ⅱ）设A、B是抛物线C上两个动点，过A作平行于x轴的直线m交直线OB于点N，若

 (O为原点，A、B异于原点)，试求点N的轨迹方程．