（本题18分）已知数列的前项和和通项满足 (是常数且，)．设函数．

(1)求数列的通项公式；

(2)当时，求的前项和；

(3)设，是否存在正整数,使对都成立?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由．

．(本题满分18分)

本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.

设二次函数，对任意实数，有恒成立；数列满足.

（1）求函数的解析式和值域；

（2）试写出一个区间，使得当时，数列在这个区间上是递增数列，

并说明理由；

（3）已知，是否存在非零整数，使得对任意，都有

 恒成立，若存在，

求之；若不存在，说明理由.

（本题满分18分）对于定义域为D的函数，如果存在区间，同时满足：

①在内是单调函数；

②当定义域是时，的值域也是．

则称是该函数的“和谐区间”．

（1）证明：是函数的一个“和谐区间”．

（2）求证：函数不存在“和谐区间”．

（3）已知：函数（）有“和谐区间”，当变化时，求出的最大值．

（本题满分18分）对于定义域为D的函数，如果存在区间，同时满足：

①在内是单调函数；

②当定义域是时，的值域也是．

则称是该函数的“和谐区间”．

（1）证明：是函数的一个“和谐区间”．

（2）求证：函数不存在“和谐区间”．

（3）已知：函数（）有“和谐区间”，当变化时，求出的最大值．