（本题满分16分）

对于函数，如果存在实数使得，那么称为的生成函数。

（1）下面给出两组函数，是否分别为的生成函数？并说明理由。

第一组：；

第二组：。

（2）设，生成函数。若不等式

在上有解，求实数的取值范围。

（3）设，取生成函数图象的最低点坐标为。

若对于任意正实数且，
试问是否存在最大的常数，使恒成立？如果存在，求出这个的值；如果不存在，请说明理由。

已知函数

（Ⅰ）若函数f（x）在[1，2]上是减函数，求实数a的取值范围；

（Ⅱ）令g（x）= f（x）－x²，是否存在实数a，当x∈（0，e](e是自然常数)时，函数g（x）的最小值是3，若存在，求出a的值；若不存在，说明理由；

（Ⅲ）当x∈（0，e]时，证明：

【解析】本试题主要是考查了导数在研究函数中的运用。第一问中利用函数f（x）在[1，2]上是减函数，的导函数恒小于等于零，然后分离参数求解得到a的取值范围。第二问中，

假设存在实数a，使有最小值3，利用，对a分类讨论，进行求解得到a的值。

第三问中，

因为，这样利用单调性证明得到不等式成立。

解：(Ⅰ)

(Ⅱ) 

（Ⅲ）见解析

已知函数 R)．

（Ⅰ）若 ，求曲线  在点  处的的切线方程；

（Ⅱ）若  对任意  恒成立，求实数a的取值范围．

【解析】本试题主要考查了导数在研究函数中的运用。

第一问中，利用当时，．

因为切点为（）， 则，                 

所以在点（）处的曲线的切线方程为：

第二问中，由题意得，即即可。

Ⅰ）当时，．

，                                  

因为切点为（）， 则，                  

所以在点（）处的曲线的切线方程为：．    ……5分

（Ⅱ）解法一：由题意得，即．      ……9分

（注：凡代入特殊值缩小范围的均给4分）

，           

因为，所以恒成立，

故在上单调递增，                            ……12分

要使恒成立，则，解得．……15分

解法二：                 ……7分

      （1）当时，在上恒成立，

故在上单调递增，

即．                  ……10分

（2）当时，令，对称轴，

则在上单调递增，又    

① 当，即时，在上恒成立，

所以在单调递增，

即，不合题意，舍去  

②当时，， 不合题意，舍去 14分

综上所述： 

　　已知：函数（），．
　　（1）若函数图象上的点到直线距离的最小值为，求的值；
　　（2）关于的不等式的解集中的整数恰有3个，求实数的取值范围；
　　（3）对于函数与定义域上的任意实数，若存在常数，使得不等式和
　　　　 都成立，则称直线为函数与的“分界线”。设，
　　　　 ，试探究与是否存在“分界线”？若存在，求出“分界线”的方程；若不存
　　　　 在，请说明理由．

设命题：方程表示的图象是双曲线；命题：，．求使“且”为真命题时，实数的取值范围．

【解析】本试题考查了双曲线的方程的运用，以及不等式有解时，参数的取值范围问题，以及符合命题的真值的判定综合试题。