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    21．已知函数(为参数). (1)函数在上恒有意义.求实数的取值范围, (2)如果当时.恒成立.求实数的取值范围. 【查看更多】

     

    题目列表(包括答案和解析)

    已知函数，.

    （Ⅰ）若函数依次在处取到极值.求的取值范围；

    （Ⅱ）若存在实数，使对任意的，不等式 恒成立.求正整数的最大值.

    【解析】第一问中利用导数在在处取到极值点可知导数为零可以解得方程有三个不同的实数根来分析求解。

    第二问中，利用存在实数，使对任意的，不等式 恒成立转化为，恒成立，分离参数法求解得到范围。

    解：（1）

    ①

    （2）不等式 ，即，即.

    转化为存在实数，使对任意的，不等式恒成立.

    即不等式在上恒成立.

    即不等式在上恒成立.

    设，则.

    设，则，因为，有.

    故在区间上是减函数。又

    故存在，使得.

    当时，有，当时，有.

    从而在区间上递增，在区间上递减.

    又[来源:]

    所以当时，恒有；当时，恒有；

    故使命题成立的正整数m的最大值为5

     

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    定义：若函数f（x）对于其定义域内的某一数x0，有f（x0）=x0，则称x0是f（x）的一个不动点。
    已知函数f（x）=ax2+(b+1)x+b-1(a≠0)。
    (1) 当a=1，b=-2时，求函数f（x）的不动点；
    (2) 若对任意的实数b，函数f（x）恒有两个不动点，求a的取值范围；
    (3) 在(2)的条件下，若y=f（x）图象上两个点A、B的横坐标是函数f（x）的不动点，且A、 B的中点C在函数g（x）=-x+的图象上，求b的最小值。
    （参考公式：A（x1，y1），B（x2，y2）的中点坐标为）

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    已知函数其中为自然对数的底数， .(Ⅰ)设，求函数的最值；（Ⅱ）若对于任意的，都有成立，求的取值范围.

    【解析】第一问中，当时，，．结合表格和导数的知识判定单调性和极值，进而得到最值。

    第二问中，∵，，      

    ∴原不等式等价于：,

    即, 亦即

    分离参数的思想求解参数的范围

    解：（Ⅰ)当时，，．

    当在上变化时，，的变化情况如下表：

     

    －

    ＋

     

    1／e

    ∴时，，．

    (Ⅱ)∵，，      

    ∴原不等式等价于：,

    即, 亦即．

    ∴对于任意的，原不等式恒成立,等价于对恒成立,

    ∵对于任意的时, （当且仅当时取等号）．

    ∴只需，即，解之得或.

    因此，的取值范围是

     

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    已知函数．（）

    （1）若在区间上单调递增，求实数的取值范围；

    （2）若在区间上，函数的图象恒在曲线下方，求的取值范围．

    【解析】第一问中，首先利用在区间上单调递增，则在区间上恒成立，然后分离参数法得到，进而得到范围；第二问中，在区间上，函数的图象恒在曲线下方等价于在区间上恒成立．然后求解得到。

    解：（1）在区间上单调递增，

    则在区间上恒成立．  …………3分

    即，而当时，，故． …………5分

    所以．                 …………6分

    （2）令，定义域为．

    在区间上，函数的图象恒在曲线下方等价于在区间上恒成立．   

    ∵        …………9分

    ① 若，令，得极值点，，

    当，即时，在（，+∞)上有，此时在区间上是增函数，并且在该区间上有，不合题意；

    当，即时，同理可知，在区间上递增，

    有，也不合题意；                     …………11分

    ② 若，则有，此时在区间上恒有，从而在区间上是减函数；

    要使在此区间上恒成立，只须满足，

    由此求得的范围是．        …………13分

    综合①②可知，当时，函数的图象恒在直线下方．

     

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