已知定义在实数集上的函数fn(x)=xn，(n∈N*)，其导函数记为fn′(x)，且满足f2′[ax1+(1-a)x2]=

f2(x2)-f2(x1)

x2-x1

，其中a、x₁、x₂为常数，x₁≠x₂．设函数g（x）=f₁（x）+mf₂（x）-lnf₃（x），（m∈R且m≠0）．
（Ⅰ）求实数a的值；
（Ⅱ）若m=1，求函数g（x）的单调区间；
（Ⅲ）求函数g（x）在x∈[0，a]的图象上任一点处的切线斜率k的最大值．

已知展开式

sinx

x

=1-

x2

3!

+

x4

5!

-

x6

7!

+…对x∈R且x≠0恒成立，方程

sinx

x

=0有无究多个根：±π，±2π，…±nπ，…，则1-

x2

3!

+

x4

5!

-

x6

7!

+…=(1-

x2

π2

)(1-

x2

22π2

)…(1-

x2

n2π2

)…，比较两边x²的系数可以推得1+

1

22

+

1

32

+…+

1

n2

+…=

π2

6

．设代数方程1-a₁x²+a₂x⁴-…+（-1）ⁿa_nx²ⁿ=0有2n个不同的根：±x₁，±x₂，…±x_n，类比上述方法可得a₁=．（用x₁，x₂，…，x_n表示）

设数列{x_n}各项均为正数，且满足

x

2 1

+

x

2 2

+…+

x

2 n

=2n2+2n
（1）求通项x_n
（2）已知

1

x1+x2

+

1

x2+x 3

+

1

x3+x4

+…+

1

xn+xn+1

=3，求n的值．

设函数fn(x)=xn+x-1，其中n∈N^*，且n≥2，给出下列三个结论：
①函数f₂（x）在区间（

1

2

，  1）内不存在零点；
②函数f₃（x）在区间（

1

2

，  1）内存在唯一零点；
③?n∈N^*，且n≥4，函数f_n（x）在区间(

1

2

，  1)内存在零点．
其中所有正确结论的序号为．

已知函数f(x)=

a(x-1)2+1

bx+c-b

（a、b、c∈N）的图象按向量

e

=(-1，0)平移后得到的图象关于原点对称，且f（2）=2，f（3）＜3．
（Ⅰ）求a，b，c的值；
（Ⅱ）设x是正实数，求证：[f（x+1）]ⁿ-f（xⁿ+1）≥2ⁿ-2．