已知函数f(x)=

3

sinωxcosωx-cos2ωx，其中ω为使f（x）能在x=

2π

3

时取得最大值的最小正整数．
（1）求ω的值；
（2）设△ABC的三边长a、b、c满足b²=ac，且边b所对的角θ的取值集合为A，当x∈A时，求f（x）的值域．

在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的长为2，宽为1，AB、AD边分别在x轴、y轴的正半轴上，A点与坐标原点重合（如图）．将矩形折叠，使A点落在线段DC上．
（I）若折痕所在直线的斜率为k，试求折痕所在直线的方程；
（II）当-2+

3

≤k≤0时，求折痕长的最大值；
（Ⅲ）当-2≤k≤-1时，折痕为线段PQ，设t=k（2|PQ|²-1），试求t的最大值．

某公司拟制造如图所示的工件（长度单位：米），要求工件的体积为10立方米，其中工件的中间为长方体，上下两端为相同的正四棱锥，其底面边长AB=a，高PO=

3

8

a．假设工件的制造费用仅与其表面积有关，已知正四棱柱侧面每平方米制造费用为2千元，正四棱锥侧面每平方米建造费用为4千元．设工件的制造费用为y千元．
（1）写出y关于a的函数表达式，并求该函数的定义域；
（2）求该工件的制造费用最小时a的值．

（2009•金山区二模）（1）设u、v为实数，证明：u²+v²≥

(u+v)2

2

；（2）请先阅读下列材料，然后根据要求回答问题．
材料：已知△LMN内接于边长为1的正三角形ABC，求证：△LMN中至少有一边的长不小于

1

2

．
证明：线段AN、AL、BL、BM、CM、CN的长分别设为a₁、a₂、b₁、b₂、c₁、c₂，设LN、LM、MN的长为x、y、z，
x²=a₁²+a₂²-2a₁a₂cos60°=a₁²+a₂²-a₁a₂
同理：y²=b₁²+b₂²-b₁b₂，z²=c₁²+c₂²-c₁c₂，
x²+y²+z²=a₁²+a₂²+b₁²+b₂²+c₁²+c₂²-a₁a₂-b₁b₂-c₁c₂
…
请利用（1）的结论，把证明过程补充完整；
（3）已知n边形A₁′A₂′A₃′…A_n′内接于边长为1的正n边形A₁A₂…A_n，（n≥4），思考会有相应的什么结论？请提出一个的命题，并给与正确解答．
注意：第（3）题中所提问题单独给分，解答也单独给分．本题按照所提问题的难度分层给分，解答也相应给分，如果同时提出两个问题，则就高不就低，解答也相同处理．