设数列{b_n}{P_n}满足b₁=3，b_n=3ⁿP_n，且P_n+1=P_n+

n

3n+1

（n∈N^*）．
（1）求数列{b_n}的通项公式；
（2）若存在实数t，使得数列C_n=（b_n-

1

4

）•

t

n+1

+n成等差数列，记数列{C_n•（

1

2

）^C_n}的前n项和为Tn，证明：3ⁿ•（T_n-1）＜b_n；
（3）设A_n=

1

n(n+1)

T_n，数列{A_n}的前n项和为S_n，求证S_n＜

5

2

．

设数列{a_n}的首项a₁=1，其前n项和S_n满足：3tS_n-（2t+3）S_n-1=3t（t＞0，n=2，3，…）．
（Ⅰ）求证：数列{a_n}为等比数列；
（Ⅱ）记{a_n}的公比为f（t），作数列{b_n}，使b₁=1，bn=f(

1

bn-1

) (n=2，3，…)，求和：b₁b₂-b₂b₃+b₃b₄-b₄b₅+…+b_2n-1b_2n-b_2nb_2n+1．

设等比数列{a_n}的前n项和S_n，首项a₁=1，公比q=f(λ)=

λ

1+λ

(λ≠-1，0)．
（Ⅰ）证明：S_n=（1+λ）-λa_n；
（Ⅱ）若数列{b_n}满足b1=

1

2

，b_n=f（b_n-1）（n∈N^*，n≥2），求数列{b_n}的通项公式；
（Ⅲ）若λ=1，记cn=an(

1

bn

-1)，数列{c_n}的前项和为T_n，求证：当n≥2时，2≤T_n＜4．

设无穷数列的首项，前项和为（），且点在直线上（为与无关的正实数）．

（1）求证：数列（）为等比数列；

（2）记数列的公比为，数列满足，设，求数列的前项和；

（3）若（2）中数列{Cn}的前n项和T_n当时不等式恒成立，求实数a的取值范围。