若动点的横坐标、纵坐标使得成等差数列，则点所表示的图形是(　　)

(本题满分18分) 本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.

设常数，对， 是平面上任意一点，定义运算“”：， ，.

（1）若，求动点的轨迹C；

（2）计算和，并说明其几何意义；

（3）在（1）中的轨迹C中，是否存在两点，使之满足且？若存在，求出的取值范围，并请求出的值；若不存在，请说明理由.

设常数a＞0，对x₁，x₂∈R，P（x，y）是平面上任意一点，定义运算“?”：x₁?x₂=（x₁+x₂）²-（x₁-x₂）²，，．
（1）若x≥0，求动点的轨迹C；
（2）计算d₁（P）和d₂（P），并说明其几何意义；
（3）在（1）中的轨迹C中，是否存在两点A₁，A₂，使之满足且？若存在，求出a的取值范围，并请求出d₁（A₁）+d₁（A₂）的值；若不存在，请说明理由．

定义变换T：

cosθ•x+sinθ•y=x′ ′sinθ•x-cosθ•y=y′

可把平面直角坐标系上的点P（x，y）变换到这一平面上的点P′（x′，y′）．特别地，若曲线M上一点P经变换公式T变换后得到的点P'与点P重合，则称点P是曲线M在变换T下的不动点．
（1）若椭圆C的中心为坐标原点，焦点在x轴上，且焦距为2

2

，长轴顶点和短轴顶点间的距离为2．求该椭圆C的标准方程．并求出当θ=arctan

3

4

时，其两个焦点F₁、F₂经变换公式T变换后得到的点F_1^′和F₂^′的坐标；
（2）当θ=arctan

3

4

时，求（1）中的椭圆C在变换T下的所有不动点的坐标；
（3）试探究：中心为坐标原点、对称轴为坐标轴的双曲线在变换T：

cosθ•x+sinθ•y=x′ ′sinθ•x-cosθ•y=y′

（θ≠

kπ

2

，k∈Z）下的不动点的存在情况和个数．