已知函数f（x）=ax+lnx，a∈R．
（I）当a=-1时，求f（x）的最大值；
（II）对f（x）图象上的任意不同两点P₁（x₁，x₂），P（x₂，y₂）（0＜x₁＜x₂），证明f（x）图象上存在点P₀（x₀，y₀），满足x₁＜x₀＜x₂，且f（x）图象上以P₀为切点的切线与直线P₁P₂平等；
（III）当a=

3

2

时，设正项数列{a_n}满足：a_n+1=f'（a_n）（n∈N^*），若数列{a_2n}是递减数列，求a₁的取值范围．

已知函数y=x²（x＞0）的图象在点（a_k，a_k²）处的切线与x轴的交点的横坐标为a_k+1（k∈N^*），a₁=1；数列{b_n}满足：b₁=2，且对任意p，q∈N^*，都有b_p+b_q=b_p+q．
（I）求数列{a_n}、{b_n}的通项公式；
（II）求数列{a_n•b_n}的前n项和T_n．

已知函数f（x）=2x²-x，则使得数列{

f(n)

pn+q

}（n∈N⁺）成等差数列的非零常数p与q所满足的关系式为．

已知函数f（x）=

1

3

x³-x，数列{a_n}满足条件：a₁≥1，a_n+1≥f′（a_n+1），
（1）证明：a_n≥2ⁿ-1（n∈N^*）
（2）试比较

1

1+a1

+

1

1+a2

+…+

1

1+an

与1的大小，并说明理由．