（2012•闵行区三模）已知数列{a_n}中，a₁＞0，an+1=

3+an 2

（n∈N^*）．
（1）试求a₁的值，使数列{a_n}是一个常数列；
（2）试求a₁的取值范围，使得数列{a_n}是单调增数列；
（3）若{a_n}不为常数列，设b_n=|a_n+1-a_n|（n∈N^*），S_n为数列{b_n}的前n项和，请你写出a₁的一个值，使得Sn＜

1

2

恒成立，并说明理由．

（2011•浦东新区三模）某同学将命题“在等差数列{a_n}中，若p+m=2n，则有a_p+a_m=2a_n（p，m，n∈N^*）”改写成：“在等差数列{a_n}中，若1×p+1×m=2×n，则有1×a_p+1×a_m=2×a_n（p，m，n∈N^*）”，进而猜想：“在等差数列{a_n}中，若2p+3m=5n，则有2a_p+3a_m=5a_n（p，m，n∈N^*）．”
（1）请你判断以上同学的猜想是否正确，并说明理由；
（2）请你提出一个更一般的命题，使得上面这位同学猜想的命题是你所提出命题的特例，并给予证明．
（3）请类比（2）中所提出的命题，对于等比数列{b_n}，请你写出相应的命题，并给予证明．

2011年11月2日，即20111102，正好前后对称，因而被称为“完美对称日”，请你写出本世纪的一个“完美对称日”：．

已知：sin230°+sin290°+sin2150°=

3

2

； sin25°+sin265°+sin2125°=

3

2

通过观察上述两等式的规律，请你写出一般性的命题：=

3

2

．