已知数列{a_n}的各项均为正数，S_n为其前n项和，对于任意的n∈N^*，满足关系式2S_n=3a_n-3．
（I）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{b_n}的通项公式是bn=

1	log3an(log3an+1)

，前n项和为T_n，求证：对于任意的正整数n，总有T_n＜1．

已知x，y，z均为正数．求证：

x

yz

+

y

zx

+

z

xy

≥

1

x

+

1

y

+

1

z

．

已知数列{a_n}中的各项均为正数，且满足a1=2，

an+1-1

an-1

=

2an

an+1

(n∈N*)．记b_n=a_n²-a_n，数列{b_n}的前n项和为x_n，且f(xn)=

1

2

xn．
（Ⅰ）数列{b_n}和{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）求证：

n-1

2

＜

f(x1)

f(x2)

+

f(x2)

f(x3)

+…+

f(xn)

f(xn+1)

＜

n

2

(n∈N*)．

已知各项均为正数的数列{a_n}满足：

a1+2a2+3a3+…+nan

n

=

(a1+1)an

3

(n∈N*)
（I）求a₁，a₂，a₃的值，猜测a_n的表达式并给予证明；
（II）求证：sin

π

an

≥

2

an

；
（III）设数列{sin

π

anan+1

}的前n项和为Sn，求证：

1

3

＜Sn＜

π

2

．

已知A₁（x₁，y₁），A₂（x₂，y₂），…，A_n（x_n，y_n）是直线l：y=kx+b上的n个不同的点（n∈N^*，k、b均为非零常数），其中数列{x_n}为等差数列．
（1）求证：数列{y_n}是等差数列；
（2）若点P是直线l上一点，且

OP

=a1

OA1

+a2

OA2

，求证：a₁+a₂=1；
（3）设a₁+a₂+…+a_n=1，且当i+j=n+1时，恒有a_i=a_j（i和j都是不大于n的正整数，且i≠j）．试探索：在直线l上是否存在这样的点P，使得

OP

=a1

OA1

+a2

OA2

+…+an

OAn

成立？请说明你的理由．