要注意幂函数.指数函数.对数函数的定义域和值域等性质的研究.尤其是它的复合函数的性质研究. ［例1］设对所有实数.不等式恒成立.求的取值范围. ［解析］解析一:可利用代换法.将问题转化为一元二次不——青夏教育精英家教网—

要注意幂函数.指数函数.对数函数的定义域和值域等性质的研究.尤其是它的复合函数的性质研究. ［例1］设对所有实数.不等式恒成立.求的取值范围. ［解析］解析一:可利用代换法.将问题转化为一元二次不等式问题处理. 解:令则原不等式变为① 当时.①式变为.得这与题设对所有实数不等式①恒成立相矛盾. ∴ 当.即时.使①对所有实数恒成立.需得则 ∴ ∴.解得 ∴的取值范围为(0,1)为所求. 解析二:本题是关于为“主元的一元二次不等式.常规思路是由“ .列出不等式组进行求解.但形式复杂.运算冗繁.令人望而生畏.往往半途而废.若反客为主.视为关于为主元的对数不等式.则是另一番情景. 解:将原不等式化为即所以因为且.欲使原不等式对恒成立.必须.解得［点评］有些数学问题构思新颖.同时有其实际背景.按固有习惯思维.把注意力集中在某些醒目的“主元上.往往陷入困境.如果打破思维定势.反“客为“主 .把原来处于相对次要地位的“客元找出来.常常能收到出人意料的效果. ［例2］定义在上的函数满足..当时. (1)求在上是解析式, (2)证明在(0,1)上是减函数, (3)当取何值时.方程在上有解. 解析:根据时函数的解析式及条件.可求出时函数的解析式.根据又可求出的值.怎样求.呢?需用条件.为了研究方程在有解.可转化为求函数在上的值域. (1)设.则 ∵.且时.. ∴时.有在中. 令.得 ∵ 令.得 ∴.从而 ∴当时有 (2)设 ∵.∴ ∴ 又∵ ∴ 即 ∴ ∴在(0,1)上是减函数. (3)方程在上有解的充要条件是在函数的值域内取值. ∵时.是减函数. ∴时. ∵. ∴时. 又 ∴时.函数的值域为 ∴当或或时.方程在上有解. ［点评］在第(1)问中.利用函数的一般性质求解在特殊点的函数值是解题中一种重要方法和技巧.在第(3)问中.应用了“函数方程思想 . [例3]已知函数＝+有如下性质:如果常数＞0.那么该函数在0.上是减函数.在.+∞上是增函数． (1)如果函数＝+(＞0)的值域为6.+∞.求的值, (2)研究函数＝+(常数＞0)在定义域内的单调性.并说明理由, (3)对函数＝+和＝+(常数＞0)作出推广.使它们都是你所推广的函数的特例．研究推广后的函数的单调性(只须写出结论.不必证明).并求函数＝+(是正整数)在区间[.2]上的最大值和最小值．解析:(1) 函数y=x+的最小值是2,则2=6, ∴b=log29. (2)设0<x1<x2,y2-y1=. 当<x1<x2时, y2>y1, 函数y=在[,+∞)上是增函数, 当0<x1<x2<时y2<y1, 函数y=在(0,]上是减函数. 又y=是偶函数,于是,该函数在(-∞,-]上是减函数, 在[-,0)上是增函数. (3)可以把函数推广为y=,其中n是正整数. 当n是奇数时,函数y=在(0,]上是减函数,在[,+∞) 上是增函数, 在(-∞,-]上是增函数, 在[-,0)上是减函数. 当n是偶数时,函数y=在(0,]上是减函数,在[,+∞) 上是增函数, 在(-∞,-]上是减函数, 在[-,0)上是增函数. F(x)= + = 因此F(x) 在 [,1]上是减函数,在[1,2]上是增函数. 所以,当x=或x=2时, F(x)取得最大值()n+()n, 当x=1时F(x)取得最小值2n+1. 【查看更多】

题目列表(包括答案和解析)

下图表示某池塘中的浮萍蔓延的面积y(m²)与时间t(月)的关系：y＝t^a，有以下叙述：

①这个幂函数的指数为3；

②第5个月时，浮萍的面积就会超过100 m²；

③浮萍从10 m²蔓延到80 m²需要经过2.5个月；

④浮萍每月增加的面积都相等．

其中正确的序号是