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    (1)引理证明 已知函数.若在区间 )上是减函数.其值域为(c.d).又函数在区间(c,d)上是减函数.那么.原复合函数在区间 )上是增函数. 证明:在区间)内任取两个数.使 因为在区间)上是减函数.所以,记, 即 因为函数在区间(c,d)上是减函数.所以,即. 故函数在区间)上是增函数. (2)．复合函数单调性的判断 复合函数的单调性是由两个函数共同决定.为了记忆方便.我们把它们总结成一个图表: 增 ↗ 减 ↘ 增 ↗ 减 ↘ 增 ↗ 减 ↘ 增 ↗ 减 ↘ 减 ↘ 增 ↗ 以上规律还可总结为:“同向得增.异向得减 或“同增异减 . (3).复合函数的单调性判断步骤: ⅰ 确定函数的定义域, ⅱ 将复合函数分解成两个简单函数:与. ⅲ 分别确定分解成的两个函数的单调性, ⅳ 若两个函数在对应的区间上的单调性相同(即都是增函数.或都是减函数).则复合后的函数为增函数, 若两个函数在对应的区间上的单调性相异(即一个是增函数.而另一个是减函数).则复合后的函数为减函数. (4)例题演练 例1. 求函数的单调区间.并用单调定义给予证明 解:定义域 单调减区间是 设 则 = ∵ ∴ ∴> 又底数 ∴ 即 ∴在上是减函数 同理可证:在上是增函数 ［例］2.讨论函数的单调性. ［解］由得函数的定义域为 则当时.若.∵为增函数.∴为增函数. 若.∵为减函数. ∴为减函数. 当时.若.则为减函数.若.则为增函数. 例3..已知y=(2-)在［0.1］上是x的减函数.求a的取值范围. 解:∵a＞0且a≠1 当a＞1时.函数t=2->0是减函数 由y= (2-)在［0.1］上x的减函数.知y=t是增函数. ∴a＞1 由x［0.1］时.2-2-a＞0,得a＜2, ∴1＜a＜2 当0<a<1时.函数t=2->0是增函数 由y= (2-)在［0.1］上x的减函数.知y=t是减函数. ∴0<a<1 由x［0.1］时.2-2-1＞0, ∴0<a<1 综上述.0<a<1或1＜a＜2 例4.已知函数(为负整数)的图象经过点.设.问是否存在实数使得在区间上是减函数.且在区间上是减函数?并证明你的结论. ［解析］由已知.得. 其中 ∴即. 解得 ∵为负整数.∴ ∴. 即 . ∴ 假设存在实数.使得满足条件.设. ∴ ∵.当时.为减函数. ∴.∴ ∵,∴, ∴, ∴ ① 当时, 增函数,∴ ∵,∴, ∴. ② 由①.②可知.故存在 (5)同步练习: 1．函数y＝(x2-3x+2)的单调递减区间是( ) A． B． C．(-∞.) D．(.+∞) 解析:先求函数定义域为(-o.1)∪.令t(x)＝x2+3x+2.函数t(x)在上单调递减.在上单调递增.根据复合函数同增异减的原则.函数y＝(x2-3x+2)在上单调递减． 答案:B 2找出下列函数的单调区间. (1), (2) 答案:(1)在上是增函数.在上是减函数. (2)单调增区间是.减区间是. 3.讨论的单调性. 答案:时为增函数.时.为增函数. 4．求函数y＝(x2-5x+4)的定义域.值域和单调区间． 解:由(x)＝x2-5x+4＞0.解得x＞4或x＜1.所以x∈.当x∈.{|＝x2-5x+4}＝R+.所以函数的值域是R+．因为函数y＝(x2-5x+4)是由y＝(x)与(x)＝x2-5x+4复合而成.函数y＝(x)在其定义域上是单调递减的.函数(x)＝x2-5x+4在(-∞.)上为减函数.在［.+∞］上为增函数．考虑到函数的定义域及复合函数单调性.y＝(x2-5x+4)的增区间是定义域内使y＝(x)为减函数.(x)＝x2-5x+4也为减函数的区间.即,y＝(x2-5x+4)的减区间是定义域内使y＝(x)为减函数.(x)＝x2-5x+4为增函数的区间.即． 第二篇 函数图象问题 数形结合是中学数学的重要的数学思想方法.尤其是函数的图象更是历年高考的热点.函数图象是函数的一种表达形式.形象的显示了函数的性质.为研究数量关系提供了“形 的直观性.它是探求解题途径.获得问题的结果的重要工具. 【查看更多】

     

    题目列表(包括答案和解析)

    （2009广东卷理）（本小题满分14分）

    已知曲线．从点向曲线引斜率为的切线，切点为．

    （1）求数列的通项公式；

    （2）证明：.

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