(14分)已知函数的定义域为，且同时满足：

（Ⅰ）对任意，总有；（Ⅱ）；（Ⅲ）若，则有

（1）试求的值；

（2）试求函数的最大值；

（3）试证明：当时，。

（本小题满分14分）已知函数，函数的最小值为，

（1）当时，求

（2）是否存在实数同时满足下列条件：①；②当的定义域为 时，值域为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由。

（本小题满分14分）已知函数同时满足如下三个条件：①定义域为；②是偶函数；③时，，其中.

（Ⅰ）求在上的解析式，并求出函数的最大值；

（Ⅱ）当，时，函数，若的图象恒在直线上方，求实数的取值范围（其中为自然对数的底数， ）.

（本小题满分14分）

    已知定义域为[0, 1]的函数f（x）同时满足：

    ①对于任意的x[0, 1]，总有f（x）≥0;

    ②f（1）＝1; 

    ③若0≤x₁≤1, 0≤x₂≤1, x₁＋x₂≤1, 则有f （x₁＋x₂） ≥ f （x₁）＋f （x₂）．

   （1）试求f（0）的值;

   （2）试求函数f（x）的最大值；

（3）试证明：当x, nN_＋时，f（x）<2x．

（本小题满分14分）

已知函数f(x)的定义域为，且同时满足：①f(1)=3；②对一切恒成立；③若，，，则．

①求函数f(x)的最大值和最小值；

②试比较与 的大小；

③某同学发现：当时，有，由此他提出猜想：对一切，都有，请你判断此猜想是否正确，并说明理由．