在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右顶点分别为A，B，离心率为

1

2

，右准线为l：x=4．M为椭圆上不同于A，B的一点，直线AM与直线l交于点P．
（1）求椭圆C的方程；  
（2）若

AM

=

MP

，求

BM

•

BP

；
（3）连结PB并延长交椭圆C于点N，若直线MN垂直于x轴，求点M的坐标．

已知函数f（x）是定义在区间[-1，1]上的奇函数，且f（1）=1，若对于任意的m、n∈[-1，1]有

f(m)+f(n)

m+n

＞0．
（1）判断并证明函数的单调性；
（2）解不等式f(x+

1

2

)＜f(1-x)；
（3）若f（x）≤-2at+2对于任意的x∈[-1，1]，a∈[-1，1]恒成立，求实数t的取值范围．

已知函数y=f（x）是R上的奇函数，当x≤0时，f(x)=

3x

9x+1

-

1

2

，
（1）判断并证明y=f（x）在（-∞，0）上的单调性；
（2）求y=f（x）的值域；
（3）求不等式f(x)＞

1

3

的解集．

（2013•宁波二模）如图，已知椭圆E：

x2

a2

+

y2

b2

=1 (a＞b＞0)的离心率是

2

2

，P₁、P₂是椭圆E的长轴的两个端点（P₂位于P₁右侧），点F是椭圆E的右焦点．点Q是x轴上位于P₂右侧的一点，且满足

1

|P1Q|

+

1

|P2Q|

=

2

|FQ|

=2．
（Ⅰ） 求椭圆E的方程以及点Q的坐标；
（Ⅱ） 过点Q的动直线l交椭圆E于A、B两点，连结AF并延长交椭圆于点C，连结BF并延长交椭圆于点D．
①求证：B、C关于x轴对称；
②当四边形ABCD的面积取得最大值时，求直线l的方程．

已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右顶点分别A、B，椭圆过点（0，1）且离心率e=

3

2

．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过椭圆上异于A，B两点的任意一点P作PH⊥x轴，H为垂足，延长HP到点Q，且PQ=HP，过点B作直线l⊥x轴，连结AQ并延长交直线l于点M，N为MB的中点，试判断直线QN与以AB为直径的圆O的位置关系．