已知函数f（x）=

1

2

x2+lnx．
（Ⅰ）求函数f（x）在区间[1，e]上的最大值、最小值；
（Ⅱ）求证：在区间（1，+∞）上函数f（x）的图象在函数g（x）=

2

3

x3图象的下方；
（Ⅲ）请你构造函数h（x），使函数F（x）=f（x）+h（x）在定义域（0，+∞）上，存在两个极值点，并证明你的结论．

已知函数f(x)=lg

1-x

1+x

（1）求f（x）的定义域；
（2）证明f（x）是奇函数；
（3）判断函数y=f（x）与y=2的图象是否有公共点，并说明理由．

已知函数f（x）=|x-1|．
（1）用分段函数的形式表示该函数；
（2）在右边所给的坐标第中画出该函数的图象；
（3）写出该函数的定义域、值域、奇偶性、单调区间（不要求证明）．

已知幂函数y=f（x）的图象经过点(2，

2

)．
（1）求函数f（x）的解析式，并写出f（x）的定义域；
（2）判断函数f（x）的单调性，并证明你的结论．

已知函数f(x)=

x+1-a

a-x

(a∈R)，
（1）证明函数y=f（x）的图象关于点（a，-1）成中心对称图形；
（2）当x∈[a+1，a+2]时，求证：f（x）∈[-2，-

3

2

]；
（3）我们利用函数y=f（x）构造一个数列{x_n}，方法如下：对于给定的定义域中的x₁，令x₂=f（x₁），x₃=f（x₂），…，x_n=f（x_n-1），…在上述构造数列的过程中，如果xi（i=2，3，4，…）在定义域中，构造数列的过程将继续下去；如果x_i不在定义域中，则构造数列的过程停止．
（i）如果可以用上述方法构造出一个常数列{x_n}，求实数a的取值范围；
（ii）如果取定义域中任一值作为x₁，都可以用上述方法构造出一个无穷数列{x_n}，求实数a的值．