于定义在D上的函数，若同时满足

①存在闭区间，使得任取，都有（是常数）；

②对于D内任意，当时总有；

则称为“平底型”函数．

（1）判断 ，是否是“平底型”函数？简要说明理由；Ks5u

（2）设是（1）中的“平底型”函数，若，（）

对一切恒成立，求实数的范围；

（3）若是“平底型”函数，求和的值．

对于定义在D上的函数y=f（x），若同时满足．
①存在闭区间[a，b]⊆D，使得任取x₁∈[a，b]，都有f（x₁）=c （c是常数）；
②对于D内任意x₂，当x₂∉[a，b]时总有f（x₂）＞c称f（x）为“平底型”函数．
（1）（理）判断f₁（x）=|x-1|+|x-2|，f₂（x）=x+|x-2|是否是“平底型”函数？简要说明理由；
（文）判断f₁（x）=|x-1|+|x-2|，f₂（x）=x-|x-3|是否是“平底型”函数？简要说明理由；
（2）（理）设f（x）是（1）中的“平底型”函数，若|t-k|+|t+k|≥|k|•f（x），k∈R且k≠0，对一切t∈R恒成立，求实数x的范围；
（文）设f（x）是（1）中的“平底型”函数，若|t-1|+|t+1|≥f（x），对一切t∈R恒成立，求实数x的范围；
（3）（理）若F（x）=mx+

x2+2x+n

，x∈[-2，+∞）是“平底型”函数，求m和n的值；
（文）若F（x）=m|x-1|+n|x-2|是“平底型”函数，求m和n满足的条件．

若函数在定义域内存在区间，满足在上的值域为，则称这样的函数为“优美函数”.

（Ⅰ）判断函数是否为“优美函数”？若是，求出；若不是，说明理由；

（Ⅱ）若函数为“优美函数”，求实数的取值范围．

【解析】第一问中，利用定义，判定由题意得，由，所以

第二问中， 由题意得方程有两实根

设所以关于m的方程在有两实根，

即函数与函数的图像在上有两个不同交点，从而得到t的范围。

解（I）由题意得，由，所以     （6分）

（II）由题意得方程有两实根

设所以关于m的方程在有两实根，

即函数与函数的图像在上有两个不同交点。

 

已知函数f（x）定义在区间（-1，1）上，f(

1

2

)=-1，对任意x、y∈（-1，1），恒有f(x)+f(y)=f(

x+y

1+xy

)成立，又数列a_n满足a1=

1

2

，an+1=

2an

1+ a 2 n

，设bn=

1

f(a1)

+

1

f(a2)

+

1

f(a3)

+…+

1

f(an)

．
（1）在（-1，1）内求一个实数t，使得f(t)=2f(

1

2

)；
（2）证明数列f（a_n）是等比数列，并求f（a_n）的表达式和

lim

n→∞

bn的值；
（3）是否存在m∈N^*，使得对任意n∈N^*，都有bn＜

m-8

4

成立？若存在，求出m的最小值；若不存在，请说明理由．