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    19．如图所示.在四棱锥P-ABCD中.底面为直角梯形.AD∥BC.∠BAD=90°.PA⊥底面ABCD.且PA=AD=AB=2BC.M.N分别为PC.PB的中点. (1)求证:PB⊥DM, (2)求BD与平面ADMN所成的角. (1)证明 ∵N是PB的中点.PA=AB. ∴AN⊥PB.∵∠BAD=90°.∴AD⊥AB. ∵PA⊥平面ABCD.∴PA⊥AD. ∵PA∩AB=A.∴AD⊥平面PAB.∴AD⊥PB. 又∵AD∩AN=A.∴PB⊥平面ADMN. ∵DM平面ADMN.∴PB⊥DM. (2)解 连接DN. ∵PB⊥平面ADMN. ∴∠BDN是BD与平面ADMN所成的角. 在Rt△BDN中. sin∠BDN===. ∴∠BDN=30°,即BD与平面ADMN所成的角为30°. 20．如图所示.已知四棱锥P-ABCD.底面ABCD为菱形.PA⊥平面ABCD. ∠ABC=60°,E,F分别是BC,PC的中点. (1)证明:AE⊥PD; (2)若H为PD上的动点,EH与平面PAD所成最大角的正切值为, 求二面角E-AF-C的余弦值. (1)证明 由四边形ABCD为菱形,∠ABC=60°, 可得△ABC为正三角形.因为E为BC的中点,所以AE⊥BC.又BC∥AD,因此AE⊥AD. 因为PA⊥平面ABCD,AE平面ABCD,所以PA⊥AE. 而PA平面PAD,AD平面PAD且PA∩AD=A, 所以AE⊥平面PAD.又PD平面PAD,所以AE⊥PD. (2)解 如图所示.设AB=2,H为PD上任意一点,连结AH.EH, 由(1)知,AE⊥平面PAD, 则∠EHA为EH与平面PAD所成的角. 在Rt△EAH中,AE=, 所以,当AH最短时,∠EHA最大,即当AH⊥PD时,∠EHA最大. 此时,tan∠EHA===,因此AH=.又AD=2,所以∠ADH=45°,所以PA=2. 方法一 因为PA⊥平面ABCD,PA平面PAC, 所以,平面PAC⊥平面ABCD.过E作EO⊥AC于O,则EO⊥平面PAC, 过O作OS⊥AF于S,连接ES,则∠ESO为二面角E-AF-C的平面角. 在Rt△AOE中,EO=AE·sin30°=,AO=AE·cos30°=,又F是PC的中点, 在Rt△ASO中,SO=AO·sin45°=, 又SE===, 在Rt△ESO中,cos∠ESO===, 即所求二面角的余弦值为. 【查看更多】

     

    题目列表(包括答案和解析)

    精英家教网如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA=AB=2，BC=a，又侧棱PA⊥底面ABCD．
    （1）当a为何值时，BD⊥平面PAC？试证明你的结论．
    （2）当a=4时，求D点到平面PBC的距离．
    （3）当a=4时，求直线PD与平面PBC所成的角．

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    17、如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，侧棱PA垂直于底面，E、F分别是AB、PC的中点．
    （1）求证：CD⊥PD；
    （2）求证：EF∥平面PAD、

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    如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥底面ABCD，求证：
    （1）PC⊥BD；
    （2）面PBD⊥面PAC．

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    如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，且AB=2，PA⊥平面ABCD，∠ABC=60°，E是BC的中点．
    （1）求证：AE⊥PD；
    （2）若H为PD上的动点，EH与平面PAD所成的最大角的正切值为
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    ．
    ①求PA的长度；
    ②当H为PD的中点时，求异面直线PB与EH所成角的余弦值．

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    如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2，AB=1，BM⊥PD，垂足为M．
    （Ⅰ）求证：AM⊥PD；
    （Ⅱ）求三棱锥B-AMC的体积；
    （III）已知点N在AC上，当N 点在什么位置时，使得MN∥平面PBC．

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