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    定义:对于函数.满足方程的自变量的值称为函数的零点.请根据这一定义求解下列问题: ⑴求函数的零点, ⑵若函数没有零点.求实数的取值范围. 【查看更多】

     

    题目列表(包括答案和解析)

    （1）对于定义在（0，+∞）上的函数f（x），满足xf′（x）+2f（x）＜0，求证：函数y=x2f（x）在（0，+∞）上是减函数；
    （2）请你认真研读（1）中命题并联系以下命题：若f（x）是定义在（0，+∞）上的可导函数，满足xf′（x）+f（x）＜0，则y=xf（x）是（0，+∞）上的减函数．然后填空建立一个普遍化的命题：设f（x）是定义在（0，+∞）上的可导函数，n∈N+，若
    x
    x
    ×f′（x）+n×f（x）＜0，则
    y=xnf（x）
    y=xnf（x）
    是（0，+∞）上的减函数．
    注：命题的普遍化就是从考虑一个对象过渡到考虑包含该对象的一个集合；或者从考虑一个较小的集合过渡到考虑包含该较小集合的更大集合．
    （3）证明（2）中建立的普遍化命题．

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    对于函数f（x），若在定义域内存在实数x，满足f（-x）=-f（x），则称f（x）为“局部奇函数”．
    （Ⅰ）已知二次函数f（x）=ax2+2x-4a（a∈R），试判断f（x）是否为“局部奇函数”？并说明理由；
    （Ⅱ）若f（x）=2x+m是定义在区间[-1，1]上的“局部奇函数”，求实数m的取值范围；
    （Ⅲ）若f（x）=4x-m•2x+1+m2-3为定义域R上的“局部奇函数”，求实数m的取值范围．

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    我们知道，如果定义在某区间上的函数f（x）满足对该区间上的任意两个数x1、x2，总有不等式
    f(x1)+f(x2)
    2
    ≤f(
    x1+x2
    2
    )    成立，则称函数f（x）为该区间上的向上凸函数（简称上凸）．类比上述定义，对于数列{an}，如果对任意正整数n，总有不等式：
    an+an+2
    2
    ≤an+1    成立，则称数列{an}为向上凸数列（简称上凸数列）．现有数列{an}满足如下两个条件：
    （1）数列{an}为上凸数列，且a1=1，a10=28；
    （2）对正整数n（1≤n＜10，n∈N*），都有|an-bn|≤20，其中bn=n2-6n+10．
    则数列{an}中的第五项a5的取值范围为
     
    ．

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    （2012•崇明县一模）定义：对于定义域为D的函数f（x），如果存在t∈D，使得f（t+1）=f（t）+f（1）成立，称函数f（x）在D上是“T”函数．已知下列函数：
    ①f（x）=
    1x
    ；　
    ②f（x）=log2（x2+2）；
    ③f（x）=2x（x∈（0，+∞））；　
    ④f（x）=cosπx（x∈[0，1]），其中属于“T”函数的序号是
    ③
    ③
    ．（写出所有满足要求的函数的序号）

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    定义：如果数列{an}的任意连续三项均能构成一个三角形的三边长，则称{an}为“三角形”数列．对于“三角形”数列{an}，如果函数y=f（x）使得bn=f（an）仍为一个“三角形”数列，则称y=f（x）是数列{an}的“保三角形函数”，（n∈N﹡）．
    （1）已知{an}是首项为2，公差为1的等差数列，若f（x）=kx，（k＞1）是数列{an}的“保三角形函数”，求k的取值范围；
    （2）已知数列{cn}的首项为2010，Sn是数列{cn}的前n项和，且满足4Sn+1-3Sn=8040，证明{cn}是“三角形”数列；
    （3）[文科]若g（x）=lgx是（2）中数列{cn}的“保三角形函数”，问数列{cn}最多有多少项．
    [理科]根据“保三角形函数”的定义，对函数h（x）=-x2+2x，x∈[1，A]，和数列1，1+d，1+2d，（d＞0）提出一个正确的命题，并说明理由．

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