（本小题满分12分）

为了解某班学生喜欢打篮球是否与性别有关，对该班50人进行了问卷调查得到了如下的列联表：

	喜欢打篮球	不喜欢打篮球	合 计
男 生		5
女 生	10
合 计			50

已知在全部50人中随机抽取1人抽到喜欢打篮球的学生的概率为0.6。

（Ⅰ）请将上面的列联表补充完整；

（Ⅱ）是否有99％的把握认为喜欢打篮球与性别有关？说明你的理由；

（Ⅲ）已知不喜欢打篮球的5位男生中，喜欢踢足球，喜欢打羽毛球，喜欢打乒乓球，现在从这5位男生中选取3位进行其他方面的调查，求和不全被选中的概率。

附:1．

2．在统计中，用以下结果对变量的独立性进行判断：

(1)当时,没有充分的证据判定变量有关联，可以认为变量是没有关联的；

(2)当时，有90%的把握判定变量有关联；

(3)当时，有95%的把握判定变量有关联；

(4)当时，有99%的把握判定变量有关联。

 

 

 

 

 

（本小题满分12分）

为了解某班学生喜欢打篮球是否与性别有关，对该班50人进行了问卷调查得到了如下的列联表：

	喜欢打篮球	不喜欢打篮球	合 计
男 生		5
女 生	10
合 计			50

已知在全部50人中随机抽取1人抽到喜欢打篮球的学生的概率为0.6。

（Ⅰ）请将上面的列联表补充完整；

（Ⅱ）是否有99％的把握认为喜欢打篮球与性别有关？说明你的理由；

（Ⅲ）已知不喜欢打篮球的5位男生中，喜欢踢足球，喜欢打羽毛球，喜欢打乒乓球，现在从这5位男生中选取3位进行其他方面的调查，求和不全被选中的概率。

附:1．

2．在统计中，用以下结果对变量的独立性进行判断：

(1)当时,没有充分的证据判定变量有关联，可以认为变量是没有关联的；

(2)当时，有90%的把握判定变量有关联；

(3)当时，有95%的把握判定变量有关联；

(4)当时，有99%的把握判定变量有关联。

 

 

 

 

 

在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边,cosB＝.

⑴ 若cosA＝－,求cosC的值；  ⑵ 若AC＝,BC＝5，求△ABC的面积.

【解析】第一问中sinB＝＝, sinA＝＝

cosC＝cos(180°－A－B)＝－cos(A＋B)                ＝sinA.sinB－cosA·cosB

＝×－(－)×＝

第二问中，由＝＋－2AB×BC×cosB得 10＝＋25－8AB

解得AB＝5或AB＝3综合得△ABC的面积为或

解：⑴ sinB＝＝, sinA＝＝,………………2分

∴cosC＝cos(180°－A－B)＝－cos(A＋B)                  ……………………3分

＝sinA.sinB－cosA·cosB                            ……………………4分

＝×－(－)×＝                   ……………………6分

⑵ 由＝＋－2AB×BC×cosB得 10＝＋25－8AB   ………………7分

解得AB＝5或AB＝3，                               ……………………9分

若AB＝5，则S_△ABC＝AB×BC×sinB＝×5×5×＝    ………………10分

若AB＝3，则S_△ABC＝AB×BC×sinB＝×5×3×＝……………………11分

综合得△ABC的面积为或

 

已知正项数列的前n项和满足：，

（1）求数列的通项和前n项和；

（2）求数列的前n项和；

（3）证明：不等式  对任意的，都成立．

【解析】第一问中，由于所以

两式作差，然后得到

从而得到结论

第二问中，利用裂项求和的思想得到结论。

第三问中，

又

       

结合放缩法得到。

解：（1）∵     ∴

      ∴

      ∴   ∴  ………2分

      又∵正项数列，∴           ∴ 

又n=1时，

∴   ∴数列是以1为首项，2为公差的等差数列……………3分

∴                             …………………4分

∴                   …………………5分 

（2）       …………………6分

    ∴

                          …………………9分

（3）

      …………………12分

又

        ，

   ∴不等式  对任意的，都成立．

 

为了比较注射A,B两种药物后产生的皮肤疱疹的面积，选200只家兔做实验，将这200只家兔随机地分成两组。每组100只，其中一组注射药物A，另一组注射药物B。下表1和表2分别是注射药物A和药物B后的实验结果。（疱疹面积单位：）

表1：注射药物A后皮肤疱疹面积的频数分布表

疱疹面积
频数	30	40	20	10
频率/组距

表2：注射药物B后皮肤疱疹面积的频数分布表

疱疹面积
频数	10	25	20	30	15
频率/组距

（1）     完成上面两个表格及下面两个频率分布直方图；

（2）完成下面列联表，并回答能否有99.9％的把握认为“注射药物A后的疱疹面积与注射药物B后的疱疹面积有差异”。 (结果保留4位有效数字)

	疱疹面积小于70	疱疹面积不小于70	合计
注射药物A	a=	b=
注射药物B	c=	d=
合计			n=

附：

 

P（K2≥k）	0.10	0.05	0.025	0.010	0.001
k	2.706	3.841	5.024	6.635	10.828

; 

【解析】根据已知条件，得到列联表中的a,b,c,d的值，代入已知的公式中

然后求解值，判定两个分类变量的相关性。

解：

    由于K²≥10.828，所以有99.9%的把握认为“注射药物A后的疱疹面积与注射药物B后的疱疹面积有差异”