已知P（x，y）为函数y=lnx图象上一点，O为坐标原点．记直线OP的斜率k=f（x）．
（I）同学甲发现：点P从左向右运动时，f（x）不断增大，试问：他的判断是否正确？若正确，请说明理由：若不正确，请给出你的判断．
（Ⅱ）求证：当x＞1时，f（x）＜

x-1

x 3 2

．
（III）同学乙发现：总存在正实数a、b（a＜b），使a^b=b^a．试问：他的判断是否正确？若不正确，请说明理由：若正确，请求出a的取值范围．

已知P（x，y）为函数y=lnx图象上一点，O为坐标原点．记直线OP的斜率k=f（x）．
（I）同学甲发现：点P从左向右运动时，f（x）不断增大，试问：他的判断是否正确？若正确，请说明理由：若不正确，请给出你的判断．
（Ⅱ）求证：当x＞1时，f（x）．
（III）同学乙发现：总存在正实数a、b（a＜b），使a^b=b^a．试问：他的判断是否正确？若不正确，请说明理由：若正确，请求出a的取值范围．

已知f（x）=，当点M（x，y）在y=f（x）的图象上运动时，点N（x-2，ny）在函数y=g_n（x）的图象上运动（n∈N^*）．
（1）求y=g_n（x）的表达式；
（2）若方程g₁（x）=g₂（x-2+a）有实根，求实数a的取值范围；
（3）设，函数F（x）=H₁（x）+g₁（x）（0＜a≤x≤b）的值域为，求实数a，b的值．