已知数列满足（I）求数列的通项公式；

（II）若数列中，前项和为，且证明：

【解析】第一问中，利用，

∴数列{}是以首项a₁+1，公比为2的等比数列，即 

第二问中， 

进一步得到得    即

即是等差数列.

然后结合公式求解。

解：（I）  解法二、，

∴数列{}是以首项a₁+1，公比为2的等比数列，即 

（II）     ………②

由②可得： …………③

③－②，得    即 …………④

又由④可得 …………⑤

⑤－④得

即是等差数列.

     

 

已知数列满足,

（1）求证：数列是等比数列；

（2）求数列的通项和前n项和．

【解析】第一问中，利用，得到从而得证

第二问中，利用∴ ∴分组求和法得到结论。

解：（1）由题得 ………4分

                    ……………………5分

   ∴数列是以2为公比，2为首项的等比数列；   ……………………6分

（2）∴                                  ……………………8分

     ∴                                  ……………………9分

     ∴

 

已知正数数列{a_n }中，a₁ =2.若关于x的方程 （）对任意自然数n都有相等的实根．

(1)求a₂ ,a₃的值；

(2)求证

【解析】(1)中由题意得△，即,进而可得,. 

(2)中由于，所以，因为，所以数列是以为首项，公比为2的等比数列，知数列是以为首项，公比为的等比数列，利用裂项求和得到不等式的证明。

(1)由题意得△，即,进而可得   

(2)由于，所以，因为，所以数列是以为首项，公比为2的等比数列，知数列是以为首项，公比为的等比数列，于是

,

所以

 

已知正项数列的前n项和满足：，

（1）求数列的通项和前n项和；

（2）求数列的前n项和；

（3）证明：不等式  对任意的，都成立．

【解析】第一问中，由于所以

两式作差，然后得到

从而得到结论

第二问中，利用裂项求和的思想得到结论。

第三问中，

又

       

结合放缩法得到。

解：（1）∵     ∴

      ∴

      ∴   ∴  ………2分

      又∵正项数列，∴           ∴ 

又n=1时，

∴   ∴数列是以1为首项，2为公差的等差数列……………3分

∴                             …………………4分

∴                   …………………5分 

（2）       …………………6分

    ∴

                          …………………9分

（3）

      …………………12分

又

        ，

   ∴不等式  对任意的，都成立．

 

已知数列是首项为的等比数列，且满足.

（1）   求常数的值和数列的通项公式；

（2）   若抽去数列中的第一项、第四项、第七项、……、第项、……，余下的项按原来的顺序组成一个新的数列，试写出数列的通项公式；

（3） 在（2）的条件下，设数列的前项和为.是否存在正整数，使得？若存在，试求所有满足条件的正整数的值；若不存在，请说明理由.

【解析】第一问中解：由得，，

又因为存在常数p使得数列为等比数列，

则即，所以p=1

故数列为首项是2，公比为2的等比数列，即.

此时也满足，则所求常数的值为1且

第二问中，解：由等比数列的性质得：

（i）当时，；

（ii） 当时，，

所以

第三问假设存在正整数n满足条件，则，

则（i）当时，

，