已知f（x）=-

4+ 1 x2

，数列{a_n} 的前n项和为S_n，点Pn(an，-

1

an+1

)在曲线y=f（x）上（n∈N^*），且a₁=1，a_n＞0．
（1）求数列{a_n} 的通项公式；
（2）数列{b_n}的前n项和为T_n，且满足

Tn+1

an2

=

Tn

an+12

+16n2-8n-3，b₁=1，求数列{b_n}的通项公式；
（3）求证：S_n＞

1

2

4n+1

-1，n∈N^*．

已知常数a、b都是正整数，函数f(x)=

x

bx+1

（x＞0），数列{a_n}满足a₁=a，

1

an+1

=f(

1

an

)（n∈N^*）
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若a=8b，且等比数列{b_n}同时满足：①b₁=a₁，b₂=a₅；②数列{b_n}的每一项都是数列{a_n}中的某一项．试判断数列{b_n}是有穷数列或是无穷数列，并简要说明理由；
（3）对问题（2）继续探究，若b₂=a_m（m＞1，m是常数），当m取何正整数时，数列{b_n}是有穷数列；当m取何正整数时，数列{b_n}是无穷数列，并说明理由．

已知函数f（x）=

x2

2x+1

（x＞0）
（1）当x₁＞0，x₂＞0且f（x₁）•f（x₂）=1时，求证：x₁•x₂≥3+2

2

（2）若数列{a_n}满足a₁=1a_n＞0a_n+1=f（a_n）（n∈N^*）求数列{a_n}的通项公式．

已知：函数f(x)=

x

ax+b

(a，b∈R，ab≠0)，f(2)=

2

3

，f(x)=x有唯一的根．
（1）求a，b的值；
（2）数列{a_n}对n≥2，n∈N总有a_n=f（a_n-1），a₁=1；求证{

1

an

}为等差数列，并求出{a_n}的通项公式．
（3）是否存在这样的数列{b_n}满足：{b_n}为{a_n}的子数列（即{b_n}中的每一项都是{a_n}的项）且{b_n}为无穷等比数列，它的各项和为

1

2

．若存在，找出一个符合条件的数列{b_n}，写出它的通项公式；若不存在，说明理由．