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    例1.数列{an}的二阶差数列的各项均为16.且a63=a89=10.求a51 解:法一:显然{an}的二阶差数列{bn}是公差为16的等差数列.设其首项为a,则bn=a+(n-1)×16,于是an= a1+ =a1+(n-1)a+8(n-1)(n-2) 这是一个关于n的二次多项式.其中n2的系数为8.由于a63=a89=10,所以 an=8(n-63)(n-89)+10.从而a51=8+10=3658 解:法二:由题意.数列{an}是二阶等差数列.故其通项是n的二次多项式.又a63=a89=10.故可设an=A(n-63)(n-89)+10 由于{an}是二阶差数列的各项均为16.所以(a3-a2)-(a2-a1)=16 即a3-2a2+a1=16.所以 A+10-2[A+10]+A+10=16 解得:A=8 an=8(n-63)(n-89)+10.从而a51=8+10=3658 例2.一个三阶等差数列{an}的前4项依次为30,72,140,240.求其通项公式 解:由性质(2).an是n的三次多项式.可设an=An3+Bn2+Cn+D 由a1=30.a2=72.a3=140.a4=240得 解得: 所以an=n3+7n2+14n+8 例3.求和:Sn=1×3×22+2×4×32+-+n(n+2)(n+1)2 解:Sn是是数列{n(n+2)(n+1)2}的前n项和. 因为an=n(n+2)(n+1)2是关于n的四次多项式.所以{an}是四阶等差数列.于是Sn是关于n的五次多项式 k(k+2)(k+1)2=k(k+1)(k+2)(k+3)-2k(k+1)(k+2).故求Sn可转化为求 Kn=和Tn= k(k+1)(k+2)(k+3)=[ k(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)-(k-1) k(k+1)(k+2)(k+3)].所以 Kn== Tn== 从而Sn=Kn-2Tn= 例4.已知整数列{an}适合条件: (1)an+2=3an+1-3an+an-1,n=2,3,4,- (2)2a2=a1+a3-2 (3)a5-a4=9,a1=1 求数列{an}的前n项和Sn 解:设bn=an+1-an,Cn=bn+1-bn Cn=bn+1-bn= (an+2-an+1)-( an+1-an)=an+2-2an+1+an=(3an+1-3an+an-1) -2an+1+an=an+1-2an+an-1 =Cn-1 (n=2,3,4,-) 所以{ Cn}是常数列 由条件(2)得C1=2,则{an}是二阶等差数列 因此an=a1+ 由条件(3)知b4=9.从而b1=3.于是an=n2 例5.求证:二阶等差数列的通项公式为 证明:设{an}的一阶差数列为{bn}.二阶差数列为{cn}.由于{an}是二阶等差数列.故{cn}为常数列 又c1=b2-b1=a3-2a2+a1 所以 例6.求数列1,3+5+7,9+11+13+15+17,-的通项 解:问题等价于:将正奇数1,3,5,-按照“第n个组含有2n-1个数 的规则分组: .,- 然后求第n组中各数之和an 依分组规则.第n组中的数恰好构成以2为公差的项数为2n-1的等差数列.因而确定了第n组中正中央这一项.然后乘以(2n-1)即得an 将每一组的正中央一项依次写出得数列:1,5,13,25,-这个数列恰为一个二阶等差数列.不难求其通项为2n2-2n+1.故第n组正中央的那一项为2n2-2n+1.从而 an=(2n-2n+1)(2n-1) 例7.数列{an}的二阶差数列是等比数列.且a1=5,a2=6,a3=9,a4=16,求{an}的通项公式 解:易算出{an}的二阶差数列{cn}是以2为首项.2为公比的等比数列,则cn=2n, {an}的一阶差数列设为{bn}.则b1=1且 从而 例8.设有边长为1米的正方形纸一张.若将这张纸剪成一边长为别为1厘米.3厘米.-.(2n-1)厘米的正方形.愉好是n个而不剩余纸.这可能吗? 解:原问题即是是否存在正整数n.使得12+32+-+(2n-1)2=1002 由于12+32+-+(2n-1)2=[12+22+-+(2n)2]-[22+42+-+(2n)2]=随着n的增大而增大.当n=19时=9129<10000.当n=20时=10660>10000 故不存在- 例9.对于任一实数序列A={a1,a2,a3,-}.定义DA为序列{a2-a1,a3-a2,-}.它的第n项为an+1-an.假设序列D(DA)的所有项均为1.且a19=a92=0,求a1 解:设序列DA的首项为d,则序列DA为{d,d+1,d+2,-},它的第n项是d+(n-1).因此序列A的第n项 显然an是关于n的二次多项式.首项等比数列为 由于a19=a92=0.必有 所以a1=819 【查看更多】

     

    题目列表(包括答案和解析)

    设{an}为等比数例，Tn=na1+（n-1）a2…+2an-1+an，已知T1=1，T2=4，
    （1）求数列{an}的首项和公比；
    （2）求数列{Tn}的通项公式．

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    例2：设数列{an}满足关系式：a1=-1，an=
    2
    3
    an-1-3(n≥2，n∈N*)
    试证：（1）试求数列{an}的通项公式．
    （2）bn=lg（an+9）是等差数列．
    （3）若数列{an}的第m项的值am=
    1
    36
    (29-38)    ，试求m

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    例4．已知数列{an}中，a1=3，对于nN，以an，an+1为系数的一元二次方程anx2-2 an+1x+1=0
    都有根α、β且满足（α-1）（β-1）=2．
    （1）求证数列{an-
    13
    }    是等比数列．
    （2）求数列{an}的通项公式．

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    （2013•房山区一模）对于实数x，将满足“0≤y＜1且x-y为整数”的实数y称为实数x的小数部分，用记号＜x＞表示．例＜1.2＞=0.2，＜-1.2＞=0.8，＜
    8
    7
    ＞=
    1
    7
    ．对于实数a，无穷数列{an}满足如下条件：a1=＜a＞，an+1=
    ＜
    1
    an
    ＞ an≠0
    0        an=0
    ，其中n=1，2，3，…．
    （Ⅰ）若a=
    		2
    ，求数列{an}的通项公式；
    （Ⅱ）当a＞
    1
    4
    时，对任意的n∈N+，都有an=a，求符合要求的实数a构成的集合A；
    （Ⅲ）若a是有理数，设a=
    p
    q
     （p是整数，q是正整数，p，q互质），对于大于q的任意正整数n，是否都有an=0成立，证明你的结论．

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    （09年临沂高新区实验中学质检）（12分）

           设数列{an}的各项都是正数，且对任意n∈N*,都有a13＋a23＋a33＋…＋an3＝Sn2，其中Sn为数例{an}的前n项和．

           （1）求证：an2＝2Sn－an；

          

           （2）求数列{an}的通项公式；

           （3）设bn＝3n＋（－1）n－1λ?2an（λ为非零整数，n∈N*），试确定λ的值，使得对任意n∈N*,都有bn＋1>bn成立．

     

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