已知函数，
（1）求函数f（x）在定义域上的单调区间；
（2）若关于x的方程f（x）-a=0恰有两个不同的实数解，求实数a的取值范围；
（3）已知实数x₁、x₂∈(0，1]，且x₁+x₂=1，求f（x₁）·f（x₂）的最大值。

已知函数，
(Ⅰ)若a=2，求f（x）的定义域；
(Ⅱ)若f（x）在区间(0，1]上是减函数，求实数a的取值范围。

已知函数f(x)的定义域为区间A，若其值域也为区间A，则称区间A为f(x)的保值区间。一般来说，函数的保值区间有(-∞，m]，[m，n]，[n，+∞)三种形式。
（1）求函数f(x)=x²-x+1的保值区间；
（2）函数g(x)=|1-|（x＞0）是否存在形如[a，b]（a＜b）的保值区间？若存在，求出a、b的值；若不存在，请说明理由。

已知函数是奇函数，定义域为区间D（使表达式有意义的实数x 的集合），
（1）求实数m的值，并写出区间D；
（2）若底数0＜a＜1，试判断函数y=f（x）在定义域D内的单调性，并证明；
（3）当x∈A=[a，b)（AD，a是底数）时，函数值组成的集合为[1，+∞)，求实数a、b的值。