如图，正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面边长为a，点M在边BC上，△AMC₁是以点M为直角顶点的等腰直角三角形．
（Ⅰ）求证点M为边BC的中点；
（Ⅱ）求C到平面AMC₁的距离；
（Ⅲ）求二面角M-AC₁-C的大小．

如图，正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面边长为a，侧棱长为

2

2

a，点D在棱A₁C₁上．
（1）若A₁D=DC₁，求证：直线BC₁∥平面AB₁D；
（2）是否存点D，使平面AB₁D⊥平面ABB₁A₁，若存在，请确定点D的位置，若不存在，请说明理由；
（3）请指出点D的位置，使二面角A₁-AB₁-D平面角的正切值的大小为2，并证明你的结论．

如图，正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面边长为3，侧棱AA₁=，D是CB延长线上的一点，且BD=BC.

（1）求证：直线BC₁∥平面AB₁D；

（2）求二面角B₁ADB的大小；

（3）求三棱锥C₁—ABB₁的体积.

如图，正三棱柱ABC—A₁B₁C₁的底面边长的3，侧棱AA₁=D是CB延长线上一点，且BD=BC.

   （Ⅰ）求证：直线BC₁//平面AB₁D；

   （Ⅱ）求二面角B₁—AD—B的大小；

   （Ⅲ）求三棱锥C₁—ABB₁的体积.