已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的离心率为

2

2

，其左、右焦点分别为F₁、F₂，点P是椭圆上一点，且

PF1

•

PF2

=0，|OP|=1（O为坐标原点）．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过点S(0，-

1

3

)且斜率为k的动直线l交
椭圆于A、B两点，在y轴上是否存在定点M，使以AB为直径的圆恒过这个点？若存在，求出M的坐标，若不存在，说明理由．

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的离心率为

3

3

，过右焦点F的直线l与C相交于A、B两点，当l的斜率为1时，坐标原点O到l的距离为

2

2

，
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）C上是否存在点P，使得当l绕F转到某一位置时，有

OP

=

OA

+

OB

成立？若存在，求出所有的P的坐标与l的方程；若不存在，说明理由．

已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）上的点到右焦点F的最小距离是

2

-1，F到上顶点的距离为

2

，点C（m，0）是线段OF上的一个动点．
（1）求椭圆的方程；
（2）是否存在过点F且与x轴不垂直的直线l与椭圆交于A、B两点，使得（

CA

+

CB

）⊥

BA

，并说明理由．

已知椭圆C的离心率e=

3

2

，长轴的左右端点分别为A₁（-2，0），A₂（2，0）．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设直线x=my+1与椭圆C交于P，Q两点，直线A₁P与A₂Q交于点S，试问：当m变化时，点S是否恒在一条定直线上？若是，请写出这条直线方程，并证明你的结论；若不是，请说明理由．

已知椭圆

x2

4

+

y2

9

=1上任一点P，由点P向x轴作垂线段PQ，垂足为Q，点M在PQ上，且

PM

=2

MQ

，点M的轨迹为C．
（1）求曲线C的方程；
（2）过点D（0，-2）作直线l与曲线C交于A、B两点，设N是过点(0，-

4

17

)且平行于x轴的直线上一动点，满足

ON

=

OA

+

OB

（O为原点），问是否存在这样的直线l，使得四边形OANB为矩形？若存在，求出直线的方程；若不存在说明理由．