(本题满分12分) 已知函数的定义域为，对于任意正数a、b，都有，其中p是常数，且.，当时，总有.

（1）求（写成关于p的表达式）；

   （2）判断上的单调性，并加以证明；

(本题满分12分)

已知函数．

    （1）求在上的最大值；

    （2）若对任意的实数，不等式恒成立，求实数的取值范围；

    （3）若关于的方程在上恰有两个不同的实根，求实数的取值范围．

(本题满分12分)已知函数在定义域上是奇函数，又是减函数。

    （Ⅰ）证明：对任意的，有

    （Ⅱ）解不等式。

(本题满分12分)已知函数在定义域上是奇函数，又是减函数。
（Ⅰ）证明：对任意的，有
（Ⅱ）解不等式。

(本题满分12分)

已知二次函数和“伪二次函数” （、、），

（I）证明：只要，无论取何值，函数在定义域内不可能总为增函数；

（II）在二次函数图象上任意取不同两点，线段中点的横坐标为，记直线的斜率为，

（i）求证：；

（ii）对于“伪二次函数”，是否有（i）同样的性质?证明你的结论.