若椭圆E₁：

x2

a 2 1

+

y2

b 2 1

=1和椭圆E₂：

x2

a 2 2

+

y2

b 2 2

=1满足

a2

a1

=

b2

b1

=m

(m＞0)

，则称这两个椭圆相似，m称为其相似比．
（1）求经过点(2，

6

)，且与椭圆

x2

4

+

y2

2

=1相似的椭圆方程；
（2）设过原点的一条射线l分别与（1）中的两个椭圆交于A、B两点（其中点A在线段OB上），
求|OA|+

1

|OB|

的最大值和最小值；
（3）对于真命题“过原点的一条射线分别与相似比为2的两个椭圆C₁：

x2

22

+

y2

( 2 )2

=1和C₂：

x2

42

+

y2

(2 2 )2

=1交于A、B两点，P为线段AB上的一点，若|OA|、|OP|、|OB|成等差数列，则点P的轨迹方程为

x2

32

+

y2

( 3 2 2 )2

=1”．请用推广或类比的方法提出类似的一个真命题，并给予证明．

已知椭圆C1：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左右焦点分别为F₁，F₂，O为坐标原点，过F₂的直线l₁与C₁交于A，B两点，且△ABF₁的周长为4

2

，l₁的倾斜角为α．
（I）当l₁垂直于x轴时，|AF2|+|BF2|=2

2

|AF2|•|BF2|
①求椭圆C₁的方程；
②求证：对于?α∈[0，π），总有|AF2|+|BF2|=2

2

|AF2|•|BF2|．
（II）在（I）的条件下，设直线l₂与椭圆交于C，D两点，且OC⊥OD，过O作l₂的垂线交l₂于E，求E的轨迹方程C₂，并比较C₂与C₁通径所在直线的位置关系．

已知双曲线C₁的渐近线方程是y=±

3

3

x，且它的一条准线与渐近线y=

3

3

x及x轴围成的三角形的周长是

3

2

(1+

3

)．以C₁的两个顶点为焦点，以C₁的焦点为顶点的椭圆记为C₂．
（1）求C₂的方程；
（2）已知斜率为

1

2

的直线l经过定点P（m，0）（m＞0）并与椭圆C₂交于不同的两点A、B，若对于椭圆C₂上任意一点M，都存在θ∈[0，2π]，使得

OM

=cosθ•

OA

+sinθ•

OB

成立．求实数m的值．