如图，在所有棱长均为2的正三棱柱中，由顶点B沿棱柱侧面经过棱AA₁到顶点C₁的最短路线与棱AA₁的交点记为M，求：
（Ⅰ）三棱柱的侧面展开图的对角线长．
（Ⅱ）该最短路线的长及

A1M

AM

的值．
（Ⅲ）平面C₁MB与平面ABC所成二面角（锐角）

如图，在所有棱长均为2的正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，D、E分别为BC、BB₁的中点，
（Ⅰ）求证：A₁B∥平面AC₁D；
（Ⅱ）求证：CE⊥平面AC₁D；
（Ⅲ）求AB₁与平面AC₁D所成角的正弦值．