已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)短轴长为2，P（x₀，y₀）（x₀≠±a）是椭圆上一点，A，B分别是椭圆的左、右顶点，直线PA，PB的斜率之积为-

1

4

．
（1）求椭圆的方程；
（2）当∠F₁PF₂为钝角时，求P点横坐标的取值范围；
（3）设F₁，F₂分别是椭圆的左右焦点，M、N是椭圆右准线l上的两个点，若

F1M

•

F2N

=0，求MN的最小值．

（2007•东城区一模）设A，B分别是直线y=

2 5

5

x和y=-

2 5

5

x上的两个动点，并且|

AB

|=

20

，动点P满足

OP

=

OA

+

OB

．记动点P的轨迹为C．
（I） 求轨迹C的方程；
（Ⅱ）若点D的坐标为（0，16），M、N是曲线C上的两个动点，且

DM

=λ

DN

，求实数λ的取值范围．

（2010•湖北模拟）设A、B分别是x轴，y轴上的动点，P在直线AB上，且

AP

=

3

2

PB

，|

AB

|=2+

3

．
（1）求点P的轨迹E的方程；
（2）已知E上定点K（-2，0）及动点M、N满足

KM

•

KN

=0，试证：直线MN必过x轴上的定点．

（文科）设A、B分别是直线y=

2 5

5

x和y=-

2 5

5

x上的两个动点，并且|

AB

|=

20

，满足

OP

=

OA

+

OB

．（1）求动点P的轨迹C的方程；
（2）若点D的坐标为（0，16），M、N是曲线C上的两个动点，且

DM

=λ

DN

（λ≠1），求实数λ的取值范围．

在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率为

1

2

，一条准线方程为x=4．
（1）求椭圆E的标准方程；
（2）若点A，B分别是椭圆E的左、右顶点，直线l经过点B且垂直于x轴，点P是椭圆上异于A，B的任意一点，直线AP交l于点M，设直线OM的斜率为k₁，直线BP的斜率为k₂，求证：k₁k₂为定值．