例1.已知MN⊥a.MN⊥b.a.b为异面直线.a∥α.b∥α. 求证:MN⊥α. 分析:只要将a.b平移到α内去即可.设MN∩α=0.设a与O确定的平面交α于a’.则由线面平行的性质定理a∥a’——青夏教育精英家教网—

例1.已知MN⊥a.MN⊥b.a.b为异面直线.a∥α.b∥α. 求证:MN⊥α. 分析:只要将a.b平移到α内去即可.设MN∩α=0.设a与O确定的平面交α于a’.则由线面平行的性质定理a∥a’ 设b与O确定的平面交α于b’.则b∥b’ ∵ MN⊥a.a’∥a ∴ MN⊥a’ 同理:MN⊥b’ ∵ a’∩b’=0.a’α.b’α ∴ MN⊥α 例2.(1)P是△ABC所在平面外一点.PA⊥PB.PB⊥PC.PC⊥PA.H是△ABC的垂心.求证:PH⊥平面ABC. (2)P是△ABC所在平面外一点.PA⊥PB.PB⊥PC.PC⊥PA.PH⊥平面ABC.H为垂足.求证:H为垂心. 分析:从线线垂直与线面垂直的相互转化入手 (1)∵ PA⊥PB.PA⊥PC ∴ PA⊥平面PBC ∴ PA⊥BC ∵ H为△ABC垂心 ∴ BC⊥AH ∵ PA∩AH=A ∴ BC⊥平面PAH ∴ BC⊥PH 同理:AB⊥PH ∵ AB∩BC=B ∴ PH⊥平面ABC 得:PA⊥BC ∵ PH⊥平面ABC ∴ AH为PA在平面ABC上的射影 ∵ BC平面ABC.BC⊥PA ∴ BC⊥AH 同理:AB⊥CH ∴ H为△ABC垂心注:本题中的两个小问题可以看成是一对逆命题.在过同一顶点的三条棱PA.PB.PC两两都垂直的条件下.P在平面ABC上的射影与△ABC的垂心为同一点. 例3.已知aα.a⊥b.b⊥α.求证:a∥α. 分析:设法构造经过直线a的辅助平面β.使得β与α相交.则只要证明a平行于交线即可. ∵ b⊥α ∴ b垂直于α内任一条直线又 a⊥b 由此联想到平面几何中的定理“垂直于同一条直线的两条直线平行 .从把a.b转移到同一平面内着手. 任取点A∈a.过A作b’∥b.设b’∩ α=B.则b’⊥ α 设由a.b’确定的平面β交α于c.则b’⊥c ∵ a⊥b.b’∥b ∴ b’⊥a ∵ a.b’.c均在平面β内 ∴ a∥c ∴ a∥α 例4.正方体ABCD-A1B1C1D1中 (1) 求证:A1C⊥BD.A1C⊥C1D.A1C⊥B1A, (2) 求证:A1C⊥平面BDC1, (3) 设O是正方形BCC1B1的中心.求证:BC1⊥DO. 分析:(1)本题中的三组线线垂直都是异面垂直.若用定义证明.则繁顼.考虑用三垂线定理及逆定理. 在正方体A1B1C1D1-ABCD中.由每一个面都是正方形.利用线面垂直的判定定理.易证:AA1.BB1.CC1.D1D都与平面ABCD及平面A1B1C1D1垂直,AB.DC.A1B1.D1C1都与平面BB1C1C.平面AA1D1D垂直,A1D1.AD.B1C1.BC都与平面AA1B1B.平面CC1D1D垂直.这些垂直关系应熟记.可直接作为结论使用. ∵ A1A⊥平面ABCD ∴ AC为A1C在平面ABCD上的射影 ∵ BD⊥AC.BD平面ABCD ∴ BD⊥A1C 在这里选取基本平面为ABCD 同理.选取平面CC1D1D为基本平面.证A1C⊥C1D 选取AA1B1B为基本平面.证A1C⊥B1A .A1C⊥BD.A1C⊥C1D ∵ BD∩C1D=D ∴ A1C⊥平面BDC1 (3)∵ DC⊥平面BB1C1C ∴ OC为DO在平面BB1C1C上的射影 ∵ BC1平面BB1C1C.BC1⊥OC ∴ BC1⊥DO 注:在垂直关系的证明中.应有意识地培养线线垂直与线面垂直转化的思想.三垂线定理及逆定理是证明异面直线垂直的重要方法. 例5.正方体ABCD-A1B1C1D1中.M为AA1中点.P为正方形A1B1C1D1的中心 (1) 求证:MP⊥B1C, (2) 线段A1B1上的点N满足A1N=NB1.求证:MN⊥MC. 分析:(1)法一:直接利用三垂线定理.选平面BB1C1C为基本面.找MP在平面BB1C1C上的射影. 作MM1∥A1B1交BB1于点M1 作PP1∥A1B1交B1C1于点P1 则MM1⊥平面BB1C1C.PP1⊥平面BB1C1C ∴ M1P1为MP在平面BB1C1C上的射影 ∵ M为AA1中点.P为A1C1中点 ∴ M1.P1分别为BB1.B1C1的中点 ∴ M1P1∥BC1 又 BC1⊥B1C ∴ M1P1⊥B1C 由三垂线定理:MP⊥B1C 法二:把MP平移.转化利用三垂线定理矩形AA1C1C中.M.P分别为AA1.A1C1的中点 ∴ MP∥AC1 由上题知AC1⊥B1C ∴ MP⊥B1C (2)选平面AA1B1B为基本面 ∵ CB⊥平面AA1B1B ∴ BM为CM在平面AA1B1B上的射影下面只要证明BM⊥MN即可 ∵ BM与MN在同一平面内 ∴ 利用勾股定理设正方体棱长为a.则BM2=AB2+AM2=a2+ MN2=MA12+A1N2= BN2=BB12+B1N2= ∵ BM2+MN2=BN2 ∴ BM⊥MN ∴ MC⊥MN 注:利用勾股定理证明线线垂直.体现了数量关系与位置关系的联系. 【查看更多】

题目列表(包括答案和解析)

已知圆C：x²+y²+ax-4y+1=0（a∈R），过定点P（0，1）作斜率为1的直线交圆C于A、B两点，P为线段AB的中点．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）设E为圆C上异于A、B的一点，求△ABE面积的最大值；
（Ⅲ）从圆外一点M向圆C引一条切线，切点为N，且有|MN|=|MP|，求|MN|的最小值，并求|MN|取最小值时点M的坐标．

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