例1.如图.正方体ABCD-A1B1C1D1中.M.N分别是A1A.B1B的中点.求直线CM与D1N所成角的余弦值. 解题思路分析, 首先建立坐标系.设正方体棱长为1.取=. =. =.以..为坐——青夏教育精英家教网—

例1.如图.正方体ABCD-A1B1C1D1中.M.N分别是A1A.B1B的中点.求直线CM与D1N所成角的余弦值. 解题思路分析, 首先建立坐标系.设正方体棱长为1.取=. =. =.以..为坐标向量建立空间直角坐标系D-xyz. 其次.求出相关点的坐标.即C.M.D1.N四点坐标.C.D1.M(1.0.).N(1.1.) 在其基础上求出有关向量的坐标. =(1.-1.).=(1.1.-) 再次.利用向量夹角公式求出与的夹角 cos<,>=(·)/(||·||)= 最后.回到立体问题中去.同时注意向量概念与立体几何概念之间的差异. ∵ cos<,><0 ∴ <,>是异面直线CM与D1N所成角的补角 ∴ 异面直线CM与D1N所成角余弦值为例2.正方体ABCD-A1B1C1D1中.E.F分别是BB1.CD中点. (1) 求证:AE⊥D1F (2) 求证:D1F⊥平面ADE (3) 求异面直线EF与BD1所成的角解题思路分析: 设正方体棱长为1.取.=.=.以..为坐标向量建立空间直角坐标系D-xyz 则D1.F=(0..0).A.E(1.1.) ∴ =(0.1.).=(0..-1) ∵ ·=0×0+1××1=0 ∴ ⊥.AE⊥D1F (2)只要再证D1F⊥AD.即·=0即可 ∵ = ∴ ·=-1×0+0×-0×1=0 ∴ ⊥.AD⊥D1F 又由(1)AE⊥D1F.AD∩AE=A ∴ D1F⊥平面ADE (4) 利用夹角公式.分别求出·.||.||即可 =(-1.-.-).= ∴ ·=1+=1 ||=.||= ∴ cos<,>=(·)/(||·||)= ∴ <,>=arccos ∴ 异面直线EF与BD1所成的角为arccos 例3.正方体ABCD-A1B1C1D1中.E是BC中点.P是CC1中点 (1) 求证:BD1∥平面C1DE, (2) 求证:EC1⊥平面A1B1P. 解题思路分析: (1)翻译为向量语言.就是把表示为平面C1DE中某两个向量的线性组合.例如证明与及共面如图建立空间直角坐标系.则B.D1.E(.1.0) ∴ =..1.0).= ∵ = ∴ 与.共面 ∵ BD1平面DEC1 ∴ BD1∥平面DEC1 (2)只需证EC1与平面A1B1P中某两条直线垂直.即与平面A1B1P中某两个向量的数量积为0 ∵ B1.P(0.1.) ∴ =(-1.0.) ∵ =(.0.1) ∴ ·=0 ∴ ⊥.B1P⊥EC1 ① 又 = ·=0 ∴ ⊥.A1B1⊥EC1 ② 由①②得.A1B1∩B1P=B1 ∴ EC1⊥平面A1B1P 例4.正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1.M.N分别在A1B.B1D1上.且A1M=A1B.B1N=B1D1. (1) 求证:MN是A1B和B1D1的公垂线, (2) 求异面直线A1B与B1D1间的距离. 解题思路分析: 如图建立空间直角坐标系只需证:·=0.·=0 ∵ A1 ∴ = 同理.= 又M(1.).N(.1) ∴ =() ∵ ·=0.·=0 ∴ ⊥.⊥ ∴ MN⊥A1B1.MN⊥B1D1 又MN与A1B.B1D1分别相交 ∴ MN是A1B和B1D1的公垂线 (3) dM.N= ∴ MN=.即异面直线A1B与B1D1之间的距离是例5.正方体ABCD-A1B1C1D1中.O为AC与BD交点.M为D1D中点 (1) 求证:B1O⊥平面MAC (2) 求异面直线B1O与D1C所成角的大小解题思路分析: 如图建立空间直角坐标系.则A.B.C1.O(.0).B1.M(0.0.) 则=().=(1.0.).=(0.1.) ∴ ·==0 ·==0 ∴ ⊥.⊥ 即 B1O⊥MA.B1O⊥MC 又MA∩MC=M ∴ B1O⊥平面MAC (2)∵ =. ∴ ·=.||=.||= ∴ cos<.>=(·)/(||·||)= ∴ <.>=arccos ∴ 异面直线D1C与B1O所成的角为arccos 注:由上面数例可以看出:①用向量解决立体几何问题.重在算.技能要求稍高.但难度上比传统几何的逻辑思维及空间想象低得多.几乎也不不需要特殊的技巧,所以向量方法可以说是一种“程序化的方法,②在右手直角坐标系建立后.如何求出点的坐标进而求出向量的坐标是向量法的基础.也是关键.因为下面的运算就是建立在坐标之上的.在这里.需要一定的空间想象能力.能够正确地进行投影,③通常用向量夹角公式证明几何的角及垂直问题,用向量距离公式求线段长度,用数乘向量证明共线问题. 【查看更多】

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