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    例1. 四棱锥A-BCDE中.AD⊥平面BCDE.AC⊥BC.AE⊥BE. (1)求证A.B.C.D.E五点都在以AB为直径的同一球面上, (2)若∠CBE=900.CE=.AD=1.求B.D两点的球面距离. 解题思路分析: (1)设AB中点为O.则只需证明OA=OB=OC=OD=OE.其途径通常有全等三角形或等量代换.本题用等量代换. 设AB中点为O.则OA=OB=AB ∵ AD⊥平面BCDE ∴ AD⊥DB ∴ DO=AB ∵ AC⊥BC.AE⊥EB ∴ EO=CO=AB ∴ OA=OB=OC=OD=OE=AB 即A.B.C.D.E五点都在以AB为直径的同一球面上 (2)根据球面距离的定义.只需求出球的半径R及∠BOD的大小即可.下从分析图形A-BCDE的性质着手. ∵ AD⊥平面BCDE ∴ DE.DC分别为AE.AC在平面BCDE上的射影 ∵ BE⊥EA.BC⊥CA ∴ BE⊥ED.BC⊥CD 又∠CBE=900 ∴ BCDE为矩形 ∴ BD=EC= ∴ AB==2 ∴ 球半径R=1 △ BOD中.BO=OD=1.BD= ∴ cos∠BOD= ∴ ∠BOD= ∴ B.D两点球面距离 例2.有三个球.第一个球内切于正方体的六个面.第二个球与这个正方体各条棱都相切.第三个球过这个正方体的各个顶点.求这三个球的表面积之比及体积之比. 解题思路分析: 因球的表面积及体积与球的半径有关.故求出三个球的半径之间关系即可.将正方体的棱长作为基本元素.以此找出三个半径的关系式. 设正方体棱长为a.三个球的依次为R1.R2.R3.分别作出过球的球心的截面.得如图所示三种组合体的截面图. 2R1=a.R1= a=2R2.R2=a a=2R3,R3=a ∴ R1∶R2∶R3=1∶∶ ∴ S1∶S2∶S3=R12∶R22∶R32=1∶2∶3 V1∶V2∶V3=R13∶R23∶R33=1∶∶ 评注:本题通过作截面图.将立体几何问题转化为平面几何问题.是立体几何的重要思想方法之一.对于这类组合体.通常作出过球心的截面.然后紧抓球心及半径两个要素.找位置关系或数量关系. 例3.A.B.C为半径为1的球面上的三点.B.C两点的球面距离为.点A与B.C两点间的球面距离均为.设球心为O.求:(1)∠BOC.∠AOB的大小,(2)球心到截面ABC的距离. 解题思路分析: 从转化球面距离着手 (1) 由球面距离定义可知.∠BOC=.∠AOB=∠AOC=, (2) 法一:利用截面性质.求出△ABC的外接圆半径r即可 ∵ BC=1.AC=AB= ∴ cos∠BAC= ∴ sin∠BAC= 设△ABC外接圆半径为r.则由正弦定理 2r= ∴ r= ∴ 球心到截面ABC的距离为 法二:一般说.立体几何的解题习惯是将点.线.面置于某一几何体中.充分利用几何体的有关性质解决这些点.线.面的问题.因此本题可考虑O.A.B.C四点构成的四面体 ∵ OA⊥OB.OA⊥OC ∴ OA⊥平面OBC.如图 为了确定O在平面ABC上的射影.应先找到平面ABC的垂面 取BC中点M.则OM⊥BC ∴ BC⊥平面OAM ∴ 平面OAM⊥平面ABC 在△OAM内作OH⊥AM.H为垂足.则OH⊥平面ABC ∴ OH长度就是点O到平面ABC的距离 ∵ OA=1.OM= ∴ AM= 由OA·OM=AM·OH得:OH= 法三:在法二图形的基础上.也可用等积法求点O到平面ABC的距离 设O到平面ABC的距离为x.则 又 ∴ 求得:S△ABC.S△OBC.OA后代入上式.求得x= 这种方法的优越性在于不需要作出O在平面ABC上的射影 例4.三棱锥P-ABC中.PA⊥平面ABC.∠ABC=900.求这个三棱锥外接球球心的位置. 解题思路分析: 为了确定球心(点)的位置.可将它转化为某两条直线的公共点.那么球心在哪条直线上呢? 根据球的截面小圆的性质.球心在过截面圆的圆心且与截面圆垂直的直线上. 如图:∵ ∠ABC=900 ∴ △ABC的外接圆圆心为AC中点O1.在△PAC内作O1M∥PA.则O1M⊥平面ABC ∴ 球心O在直线O1M上 ∵ PA⊥平面ABC ∴ PA⊥BC 又BC⊥BA ∴ CB⊥平面PAB ∵ ∠PAB=900 ∴ △PAB的外接圆圆心为PB中点O2.在△PBC内作O2N⊥CB.则O2N⊥平面PAB ∴ 球心O在直线O2N上 ∵ O1M.O2N均与直线PC相交且交点O为PC中点 ∴ O1M∩O2M=0 ∴ O为三棱锥P-ABC外接球的球心 例5.已知球的两个平行截面的面积分别为5π和8π.且相距为1.求球的体积. 解题思路分析: 利用解方程思想与球的半径R 这里还需要对两截面是在球心O的同侧还是异侧进行讨论 当两截面在球心O的同侧时.作出截面大圆.如图 则 解之得R=3 当两截面在球心O的两侧时 则.无解 ∴ 【查看更多】

     

    题目列表(包括答案和解析)

    三棱锥P-ABC中，PA=AC=BC=2，PA⊥平面ABC，BC⊥AC，D、E分别是PC、PB的中点．
    （1）求证：DE∥平面ABC；
    （2 ）求证：AD⊥平面PBC；
    （3）求四棱锥A-BCDE的体积．

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    三棱锥P-ABC中，PA=AC=BC=2，PA⊥平面ABC，BC⊥AC，D、E分别是PC、PB的中点．
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    （2 ）求证：AD⊥平面PBC；
    （3）求四棱锥A-BCDE的体积．

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    三棱锥P-ABC中，PA=AC=BC=2，PA⊥平面ABC，BC⊥AC，D、E分别是PC、PB的中点．
    （1）求证：DE∥平面ABC；
    （2 ）求证：AD⊥平面PBC；
    （3）求四棱锥A-BCDE的体积．

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    三棱锥P-ABC中，PA=AC=BC=2，PA⊥平面ABC，BC⊥AC，D、E分别是PC、PB的中点．
    （1）求证：DE∥平面ABC；
    （2 ）求证：AD⊥平面PBC；
    （3）求四棱锥A-BCDE的体积．

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    （2012•湛江一模）三棱锥P-ABC中，PA=AC=BC=2，PA⊥平面ABC，BC⊥AC，D、E分别是PC、PB的中点．
    （1）求证：DE∥平面ABC；
    （2 ）求证：AD⊥平面PBC；
    （3）求四棱锥A-BCDE的体积．

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