已知四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形.AB∥DC.底面ABCD.且PA=AD=DC=AB=1.M是PB的中点. (Ⅰ)证明:面PAD⊥面PCD,(Ⅱ)求AC与PB所成的角,(Ⅲ)求面AMC与面BM——青夏教育精英家教网—

已知四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形.AB∥DC.底面ABCD.且PA=AD=DC=AB=1.M是PB的中点. (Ⅰ)证明:面PAD⊥面PCD,(Ⅱ)求AC与PB所成的角,(Ⅲ)求面AMC与面BMC所成二面角的大小. 证:因为PA⊥AD.PA⊥AB.AD⊥AB.以A为坐标原点.AD长为单位长度.如图建立空间直角坐标系.则各点坐标为 A,C,P,M(0,1,). (I)证明:因=,=,故·=0,所以AP⊥DC. 又由题设知AD⊥DC.且AP与AD是平面PAD内的两条相交直线.由此得DC⊥面PAD. 又DC在面PCD上.故面PAD⊥面PCD. (II)解:因=,=, 故||=.||=.·=2.所以 cos<·>== 由此得AC与PB所成的角为arccos (III)解:在MC上取一点N,则存在λ∈R.使 =λ. =, =(1,0,-),∴x=1-λ,y=1,z=λ. 要使AN⊥MC只需·=0,即x-z=0,解得λ=. 可知当λ=时,N点坐标为(,1,),能使·=0. 此时, =(,1,),=(,-1,),有·=0. 由·=0, ·=0得AN⊥MC,BN⊥MC.所以∠ANB为所求二面角的平面角. ∵||=,||=,·=-∴cos<,>=故所求的二面角为arccos(-). 【查看更多】

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已知四棱锥P－ABCD的底面为直角梯形，AB∥DC，底面ABCD，且PA=AD=DC=AB=1，M是PB的中点。