2．5．2、两杆交点的运动　　　　　　 两杆的交点同时参与了二杆的运动，而且相对每一根杆还有自己的运动，因而是一种比较复杂的运动。

图2-5-3(a)中的AC、BD两杆均以角速度绕A、B两固定轴在同一竖直面内转动，转动方向如图示。当

t=0时，60º，试求t时刻两棒交点M点的速度和加速度。t=0时，△ABM为等边三角形，因此AM=BM=，它的外接圆半径R=OM=，图2-5-3(b)。二杆旋转过程中，角增大的角度一直等于角减小的角度，所以M角的大小始终不变(等于60º)，因此M点既不能偏向圆内也不能偏向圆外，只能沿着圆周移动，因为∠和∠是对着同一段圆弧()的圆心角和圆周角，所以∠=2∠，即M以2的角速度绕O点做匀速圆周运动，任意时刻t的速度大小恒为

向心加速度的大小恒为

再看图2-5-4(a)，一平面内有二根细杆和，各自以垂直于自己的速度和在该平面内运动，试求交点相对于纸平面的速率及交点相对于每根杆的速率。

参考图2-5-4(b)，经过时间之后，移动到了的位置，移动到了的位置，和的原位置交于点，和交于点。

=

在中：

因为角和角互补，所以

因此两杆交点相对于纸平面的速度

不难看出，经过时间后，原交点在上的位置移动到了A位置，因此交点相对的位移就是，交点相对的速度就是：

=

用同样的方法可以求出交点相对的速度

因为可以取得无限小，因此上述讨论与是否为常量无关。如果是变量，上述表达式仍然可以表达二杆交点某一时刻的瞬时速度。

如果和的方向不是与杆垂直，这个问题应该如何解决？读者可以进行进一步的讨论。

2．5．1、相关的速度

当绳端在做既不沿绳方向，又不垂直于绳方向的运动时，一般要将绳端的运动分解为沿绳方向和垂直于绳方向二个分运动。

如图2-5-1所示的情况，绳AB拉着物体m在水平面上运动，A端以速度v做匀速运动，问m做什么运动？有的同学会将绳的速度v分解成竖直

分速度vsina和水平分速度vcosa，以为木块的速度(u<v)．这是错误的。因为实际上木块并没有一个向上的分速度。应该将绳端B实际上的水平速度分解成沿绳方向的分速v_∥=和垂直于绳的分速v_⊥=，v_∥使绳子缩短，所以v_∥=v，v_⊥使绳子围绕滑轮转动。因此，而且随着a的增大而越来越大。

如图2-5-2所示，杆AB沿滑下，A、B二端的速度和也是二个相关的速度。将分解成沿杆方向的分速和垂直于杆的分速。由于杆的长度不会发生变化，所以，即，即

10.解：(1)小球在竖直方向速度为时运动到最高点速度刚好为零，由机械能守恒有

解得：

(2)当球运动到最高点速度为，此时球速度为，且

水平方向动量守恒有

根据能量关系

解得：

9.解：(1)物体在两斜面上来回运动时，克服摩擦力所做的功

物体从开始直到不再在斜面上运动的过程中

解得m

(2)物体最终是在、之间的圆弧上来回做变速圆周运动，且在、点时速度为零．

(3)物体第一次通过圆弧最低点时，圆弧所受压力最大．由动能定理得

由牛顿第二定律得　

解得　 N．

物体最终在圆弧上运动时，圆弧所受压力最小．由动能定理得

由牛顿第二定律得

解得N．

8.解：(1)由机械能守恒

得:m/s

(2)在最低点

得:N

7.解：由于滑动摩擦力

<

所以物体最终必定停在P点处，由功能关系有

6.解：⑴物块在光滑轨道上滑动过程机械能守恒，第一次下滑到底端时的动能为

　 　　　　①

由于每次与档板碰后速度大小都是碰前的，故每次与档板碰后动能都是碰前的，物块经过两次与档板碰后动能为，根据机械能守恒定律有

　　　　　 ②

由①、②得　　 　　　③

⑵物块第二次与档板碰后沿圆形轨道上升的最大高度远小于，此后物块在圆形轨道上的运动都可看成简谐运动，周期　　　 ④

第二次与档板碰后速度：　　　　　　　 ⑤

则第二次与档板碰撞到第三次与档板碰撞间隔的时间为：

　　　　　　　　　　 ⑥

第三次与档板碰后速度：　　　 　　　　　　⑦

则第三次与档板碰撞到第四次与档板碰撞间隔的时间为：

　　　　　　　　　 ⑧

因此第二次与档板碰撞到第四次与档板碰撞间隔的时间为：

　　　　　　　　　　　 ⑨

5.(略)