2．1对物体系的整体处理

例9．如图(8)所示，A球和B球用轻绳连接并静止在光滑圆柱面上。若A球的质量为m则B球的质量为(　　　　 )

(A)3m/4　　　 (B)2m/3　　　 (C)3m/5　　　 (D)m/2

解：将A球、B球和轻绳看成整体，以圆柱面中心为转轴，由，得，故选A。

例10．如图(9)所示，倾角，质量M=34kg的斜面小车，始终停在粗糙水平地面上。质量为m_A=14kg，m_B=2kg的物体，通过定滑轮由细线连接。若物体A以a=2.5m/ s²的加速度，沿斜面加速下滑，求地面对小车的摩擦力和支持力。

解：以A、B和小车整体为研究对象，根据质点系的牛顿第二定律，在水平方向，由　　　　　 ΣF_x=m₁a_1x+m₂a_2x+m₃a_3x得f =m_Aa_Ax=m_Aacos30°=31N，在竖直方向由ΣF_y=m₁a_1y+m₂a_2y+m₃a_3y得　 所以

例11．人坐在冰车上，人与冰车的总质量为M，冰面上还有一个质量为m的弹性滑块，原来均处于静止。某时刻坐在冰车上的人用力将滑块推向前方一固定的挡板，滑块与挡板碰撞后又被反弹回来，滑块与挡板的碰撞不损失机械能，且滑块始终与冰车在同一直线上运动。若人以相对冰面v₀的速度推出滑块，滑块反弹后被人接住再次以相对冰面v₀的速度推向挡板，如此反复多次，已知M∶m=31∶2，试分析人推出滑块多少次后将不可能再接到滑块？不计滑块、冰车与冰面之间的摩擦。

解：将人、冰车与滑块作为整体。挡板每次对滑块的冲量I₀=2mv₀，对系统来说，这个冲量即外力的冲量，即人每推滑块一次，挡板对研究的整体一个冲量I₀=2mv₀。设人推n次后，冰车的速度为v，对整体应用动量定理ΣI₀=ΔP即n(2mv₀)=mv₀+Mv；人不能再接到滑块：v≥v₀可解得，应取n=9。

说明：本例的常规思路是应用动量守恒定律和归纳法，但不如用动量定理的解法简捷。

例12．如图(10)-a所示的电路是一个无穷网络，每个电阻均为r，试求A、B间的电阻R_AB。

解：因为是无穷网络，去掉图中虚线左边三个电阻及其结构看作一个整体--等效电阻R′，则原来的无穷网络变成有限网络如(10)-b所示，根据电阻的串、并联关系得，而R′=R_AB，所以求得。

例13．如图(11)所示，容器水平放置，用销钉固定的活塞，将其分隔为两部分，体积之比为V_A∶V_B=2∶1。开始，A中气体温度t_A=127℃，压强P_A=1.8×10⁵帕；B中气体的温度t_B=27℃，压强P_B=1.2×10⁵帕。拔出销钉，让活塞无摩擦地移动，且活塞停止运动时，气体温度为27℃的室温。求这时A中气体压强。

解：当活塞停止运动时，两部分气体的压强，温度都相同，故可以视为一整体，且体积为3V，根据混合气体的气态方程，，得P=1.3×10⁵帕。

2．整体法的含义及其应用

在研究物理问题时，把所研究的对象作为一个整体来处理的方法，称为整体法。应用整体法就是用整体的观点去认识问题，解决问题不为局部现象所迷惑，从整体上把握事物及其变化的规律。应用整体法可以避免对事物内部进行繁琐的分析，具有方便简捷的优点。

自然界本身就是一个相互关联的整体，个别事物的变化会引起整体的变化，整体的变化也反映了局部的变化。因此从整体上把握事物及其变化规律不仅有利于研究外部作用和事物整体变化之间的关系，也有利于在把握事物整体变化的基础上研究事物的局部变化。整体法不仅是解决物理问题时的基本方法，也是认识客观事物时的基本思维方法。

整体与局部具有相对性，整体在更大范围内就成为局部，而局部在更小的范围内就成为整体，关键在于处理具体问题时如何界定整体的范围。

1．6微元隔离--在整体中隔离微小量进行分析是隔离法的一种，又称微元法或小量分析法。

例8．如图(7)所示，一个质量和带电量均匀分布的细圆环，置于光滑水平的绝缘面上，并处于方向竖直向下的匀强磁场B中，环半径R，质量m，电量q。若环以角速度ω绕环心顺时针方向转动(俯视)。求环中的张力是多大？

解：从环上隔离出一微小段(微元)为研究对象，其质量Δm，电量Δq，微元在两个张力(T)和洛仑兹力(f)作用下做匀速圆周运动。根据牛顿第二定律；；Δθ很小时，，质量和电量沿环均匀分布：，由以上几式可得。

1．5连续介质的隔离-从连续流体中隔离出一个“微圆柱体”。

例7．一艘帆船在静水中由于风力推动作用匀速前进，若帆面的截面积为S，风速为v₁，船速为v₂，空气密度为ρ，则帆面受到的平均风力大小为多少？

解：在处理流动物体时，需要把起作用的一部分隔离出来分析。在时间t内作用在帆面上空气的体积，这部分空气的速度由v₁变为v₂，由动量定理即：。帆面受到的平均风力。

1．4关联物理的隔离(多因素的隔离)

对各种物理现象进行比较时，常常由于这些现象中包含的因素较多，讨论起来变比较复杂。若能去除相同因素，把不同因素隔离出来进行比较，往往能使问题简单化。

例6．在圆柱形封闭容器内，有三个可绕中心轴转动的绝热活塞把容器分为三个部分，如图(6)所示。当三部分气体温度均为T时它们的体积之比V₁∶V₂∶V₃=1∶2∶3。求：它们体积相时，温度之比T₁∶T₂∶T₃为多少？

解：三部分气体用绝热活塞隔开，它们的压强始终相等，温度可以不等，但都遵守气态方程。当它们T、P相等时V₁∶V₂∶V₃=1∶2∶3，即有K₁∶K₂∶K₃=1∶2∶3，即有，当它们体积、压强相等时，则T₁∶T₂∶T₃==6∶3∶2。

1．3隔离效果--应用隔离法时，不仅要把研究的物体隔离开来，同时也要把物体产生的效果与整体效果隔离开来，这样才能确定隔离物体产生的作用。

例4．如图(4)所示，空心金属球半径为R，外壳接地，球外有一个点电荷，电量为Q，到球心O的距离为L，则金属球上感应电荷在球心O处产生的场强大小为(　　　 )

(A)　　 (B)　　 (C)0　 (D)

解：球心处的场强由电荷Q在O处的场强和金属球上感应电荷在O处的场强两部分合成，金属球内电场强度为零是指合场强为零。把两部分场强隔离开来考虑，电荷Q在O处的场强仍为与有无金属球无关。要O处场强为零，则金属球上感应电荷在O处的场强大小也应为，但方向相反。所以选D。

例5．如图(5)所示，一个质量为m，电量为q的带正电小球，从距地面h高处以一定水平速度抛出。在距抛出点水平距离L处，有一个竖直管子，且管口距地面h/2，为了使小球能无碰撞地通过管子可在管子上方加一水平向左的匀强电场。试计算：①小球的初速度v₀；②电场强度；③小球落地时的动能E_K。

解：小球不碰撞地穿过管子的条件-在管子上方水平分速度为零，把电场的效果与重力的效果隔离开来讨论。水平方向，电场力使小球的速度由v₀减小为零，，；竖直方向，重力使小球做自由落体运动，。由上四式可得，。在全过程将两力做功的效果隔离分析：小球的初动能全部用于反抗电场力做功，重力做功，使小球增加的动能即落地时的动能。

1．2隔离过程

例2．如图(2)所示，用长为L的轻绳，一端系质量为m的小球，另一端固定在O处。把小球拉到使轻绳和水平夹角为30°的A点处由静止释放。求：小球落至最低点B处时的速度大小和绳的拉力。

简解：小球A→B的运动过程可以分隔成三段：①A→C：自由落体至绳刚好绷直为止；由mgL=mv_c²/2得；②绳的绷紧过程：沿绳方向动量减小为零，只剩下垂直于绳方向的动量，切向速度；③C→B，小球作圆周运动，由动能定理：，得，由得。

说明：对涉及多个不同过程的物理问题进行精细分析，并确定各个分过程的特征是应用规律列方程的首要条件。特别是碰撞、打进、打出、绷紧等短暂过程更要注意。例2 中的绳子绷紧过程易被忽视。不能全程应用机械能守恒列式，其原因就在于绳子绷紧过程有机械能损失。

例3．一粗细均匀的玻璃管，注入60mm水银柱水平放置，如图(3)所示，若将管缓慢转到开口向下，竖直插入水银槽中，达到平衡时，封闭端空气柱长133mm。设整个过程中等温，外界大气压为760mmHg，求水银槽中进入玻璃管中的水银长度是多少mm？

解：本题必须将全过程分隔为①玻璃管由水平位置缓慢转到开口向下的过程。设封闭端气体为A，开口端管内气体为B。对A气体：P_AL_A=P_A′L_A′，760×140=700L_A′，∴L_A′=152mm，B端空气柱L_B=128mm；②将玻璃管下端缓慢插入水银的过程。对A气体：P_AL_A=P_A″L_A″，760×140= P_A″×133，∴P_A″=800mmHg。对B气体：P_B′L_B′=P_B″L_B″，760×128=(800+60)×L_B″，L_B″=113.1mm，由水银槽中进入玻璃管的水银长度Δh=280-(133+113.1)=33.9mm。

说明：例3既涉及到隔离物体，又涉及到隔离过程，容易忽视中间状态。虽然气体一直作等温变化，但开口端管内气柱的质量发生变化，不能把玻意耳定律用于初态与末态，而须设置中间状态，把全过程分隔成两个分过程处理。

1．1(隔离物体)

例1．如图(1)所示，质量为M的木板上放一质量为m的木块。木块与木板间的动摩擦因数为μ₁，木板与水平支持面间的摩擦因数为μ₂。问：加在木板上的水平力F多大时，才能将木板从木块下抽出来？

简解：分别对m及M作受力分析后，根据牛顿第二定律对m：μ₁mg=ma₁……①，对M：F-μ₁mg-μ₂(m+M)g=Ma₂……②，将M从m下抽出，应满足a₂>a₁……③，将①、②代入③可得F>(μ₁+μ₂)(M+m)g

说明：共点力平衡条件、牛顿第二定律、动量定理、动能定理等力学规律均适用于隔离物体，分别列式联合求解。至于具体应用哪一条物理规律，要视物体的运动状态和问题设置的目标而定。此外，对于有相互关联的几部分不同气体，分别对它们应用相关的气体实验定律或气态方程列式讨论，也属这类方法应用。对于点光源同时经不同的光学元件成像，如果要确定像的个数及虚实，或光路图等，则需要隔离光学元件进行分析。

1．隔离法的含义及其应用

把所研究的事物从整体或系统中隔离出来进行研究，最终得出结论的方法称为隔离法。应用隔离法能排除与事物无关的因素，使该事物的主要特征明确地显示出来，从而进行有效处理，使一些无法用整体来解决的问题得到满意的结论。

任何事物总是由各个部分组成的，事物的整体和局部之间既有联系又有区别。在处理具体的物理问题时，可以根据不同的情况把整个物体系或整个物理过程分隔成几个部分，应用相应物理规律进行处理。由于各物体在各种不同情况下会产生不同的结果，应用隔离法能为我们针对不同情况解决问题创造条件。同时由于事物之间总是相互关联的，对局部事物问题的研究也有利于我们进一步了解局部之间的相互关系以及局部和整体之间的相互关系，往往能突破一点掌握全局，使问题得到顺利解决。

隔离法用于解决高中物理问题常见的有以下六种情况。

13、(20分)如图所示，半径为R的光滑圆形轨道固定在竖直面内。小球A、B质量分别为m、βm(β为待定系数)。A球从左边与圆心等高处由静止开始沿轨道下滑，与静止于轨道最低点的B球相撞，碰撞后A、B球能达到的最大高度均为,碰撞中无机械能损失。重力加速度为g。试求：

(1)待定系数β;

(2)第一次碰撞刚结束时小球A、B各自的速度和B球对轨道的压力;

(3)小球A、B在轨道最低处第二次碰撞刚结束时各自的速度，并讨论小球A、B在轨道最低处第n次碰撞刚结束时各自的速度。