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    18．[解]连结BD.因为B1B⊥平面ABCD.B1D⊥BC.所以BC⊥BD.又因为直线B1D与平面ABCD所成的角等于30°.所以 【查看更多】

     

    题目列表(包括答案和解析)

    如图，在四棱锥S-ABCD中，∠ADB=90°，AD=BD=1，SA⊥平面ABCD，∠ASB=30°，E、F分别是SD、SC上的动点，M、N分别是SB、SC上的动点，且
    SE
    SD
    =
    SF
    SC
    =λ，
    SM
    SB
    =
    SN
    SC
    =μ    ．
    （I）当λ，μ有何关系时，ME⊥平面SAD？并证明你的结论；
    （II）在（I）的条件下且μ=
    1
    2
    时，求三棱锥S-AME的体积．

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    如图，菱形ABCD中，∠DAB=，AC∩BD=O，PO⊥平面ABCD，PO=AD=，点E在PD上，PE：ED=3：1.

    (Ⅰ)证明：PD⊥平面EAC；

    (Ⅱ)求二面角A-PD-C的余弦值；

    (Ⅲ)求点B到平面PDC的距离.

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    如图，菱形ABCD中，∠DAB=60°，AC∩BD=O，PO⊥平面ABCD，PO=AO=，点E在PD上，PE：ED=3：1．

    (Ⅰ)证明：PD上平面置EAC；

    (Ⅱ)求二面角A-PD-C的余弦值；

    (Ⅲ)求点B到平面PDC的距离．

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    如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AC⊥AD，AB⊥BC，∠BAC=45°，PA=AD=2，AC=1.

    （Ⅰ）证明PC⊥AD；

    （Ⅱ）求二面角A-PC-D的正弦值；

    （Ⅲ）设E为棱PA上的点，满足异面直线BE与CD所成的角为30°，求AE的长.

     

    【解析】解法一：如图，以点A为原点建立空间直角坐标系，依题意得A(0,0,0)，D(2,0,0),C(0,1,0), ,P（0,0,2）.

    （1）证明：易得，于是,所以

    (2) ,设平面PCD的法向量，

    则,即.不防设，可得.可取平面PAC的法向量于是从而.

    所以二面角A-PC-D的正弦值为.

    （3）设点E的坐标为（0,0，h），其中，由此得.

    由，故 

    所以，，解得，即.

    解法二：（1）证明：由，可得，又由,,故.又,所以.

    (2)如图，作于点H，连接DH.由,,可得.

    因此,从而为二面角A-PC-D的平面角.在中，,由此得由（1）知,故在中，

    因此所以二面角的正弦值为.

    （3）如图，因为，故过点B作CD的平行线必与线段AD相交，设交点为F，连接BE，EF. 故或其补角为异面直线BE与CD所成的角.由于BF∥CD，故.在中，故

    在中，由,,

    可得.由余弦定理，,

    所以.

     

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    把正方形ABCD沿其对角线AC折成二面角DACB后，连结BD，得到如图所示的几何体，已知点O、E、F分别为线段AC、AD、BC的中点。

    （I）求证：AB//平面EOF；

    （II）求二面角EOFB的大小。

     

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