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（本题满分12分）阅读下列材料，解决数学问题．圆锥曲线具有非常漂亮的光学性质，被人们广泛地应用于各种设计之中，比如椭圆镜面用来制作电影放映机的聚光灯，抛物面用来制作探照灯等，它们的截面分别是椭圆和抛物线．双曲线也具有非常好的光学性质，从双曲线的一个焦点发出的光线，经过双曲线反射后，反射光线是发散的，它们好像是从另一个焦点射出的一样，如图（1）所示．反比例函数的图像是以直线为轴，以坐标轴为渐近线的等轴双曲线，记作C．
(Ⅰ)求曲线C的离心率及焦点坐标；
(Ⅱ)如图（2），从曲线C的焦点F处发出的光线经双曲线反射后得到的反射光线与入射光线垂直，求入射光线的方程．
（1）          （2） 

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阅读下列材料，解决数学问题．

圆锥曲线具有非常漂亮的光学性质，被人们广泛地应用于各种设计之中，比如椭圆镜面用来制作电影放映机的聚光灯，抛物面用来制作探照灯等，它们的截面分别是椭圆和抛物线．双曲线也具有非常好的光学性质，从双曲线的一个焦点发出的光线，经过双曲线反射后，反射光线是发散的，它们好像是从另一个焦点射出的一样，如图所示．

反比例函数的图像是以直线y＝x为轴，以坐标轴为渐近线的等轴双曲线，记作C．

(Ⅰ)求曲线C的离心率及焦点坐标；

(Ⅱ)如下图，从曲线C的焦点F处发出的光线经双曲线反射后得到的反射光线与入射光线垂直，求入射光线的方程．

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一、选择题

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

答案

D

A

A

D

B

C

C

B

C

D

二、填空题

11．     cosx+sinx          _                   12．

13．_____  -1____________                    14．

15．                   16．

17．

三、解答题

18．解：由椭圆的标准方程知椭圆的焦点为，离心率为………………3分

因为双曲线与椭圆有相同的焦点，所以，双曲线焦点在x轴上，c=4，………………2分

又双曲线与椭圆的离心率之和为，故双曲线的离心率为2，所以a=2………………4分

又b²=c²-a²=16-4=12。………………………………………………………………………2分

所以双曲线的标准方程为。………………………………………………1分

19．解：p真：m<0…………………………………………………………………………2分

q真：……………………………………………………………2分

故-1<m<1。…………………………………………………………………………………2分

由和都是假命题知：p真q假，………………………………………………4分

故。………………………………4分

20．解：（1）设|PF₂|=x，则｜PF₁|=2a-x……………………………………………………2分

∵，∴， ∴…………1分

∴，……………………………………………………………………2分

………………………………2分

（2）由题知a=4，，故………………………………………………1分

由得，…………………………………………………………………1分

又……………………………………2分

故，代入椭圆方程得，………………………………………2分

故Q点的坐标为，，，。

…………………………………………………………………………………………………2分

21．解：（1）由函数，求导数得，…1分

由题知点P在切线上，故f(1)=4，…………………………………………………………1分

又切点在曲线上，故1+a+b+c=4①…………………………………………………………1分

且，故3+2a+b=3②………………………………………………………………1分

③……………………2分

故……………………1分

（2）…………………………1分

x

－2

+

0

－

0

+

极大值

极小值

有表格或者分析说明…………………………………………………………………………3分

，…………………………………………………………2分

∴f(x)在[-3，1]上最大值为13。故m的取值范围为{m|m>13}………………………2分

22．解：（1）由题意设过点M的切线方程为：，…………………………1分

代入C得，则，………………2分

，即M（－1，）．………………………………………2分

另解：由题意得过点M的切线方程的斜率k=2，…………………………………………1分

设M(x₀，y₀)，，………………………………………………………………1分

由导数的几何意义可知2x₀+4=2，故x₀= -1，……………………………………………2分

代入抛物线可得y₀=，点M的坐标为（－1，）……………………………………1分

（2）假设在C上存在点满足条件．设过Q的切线方程为：，代入，

则，

且．………………………………………………………2分

若时，由于，…………………2分

当a＞0时，有

∴ 或  ；……………………………………2分

当a≤0时，∵k≠0，故 k无解。……………………………………………………1分

若k=0时，显然也满足要求．…………………………………………1分

综上，当a>0时，有三个点（－2＋，），（－2－，）及（－2，－），且过这三点的法线过点P（－2，a），其方程分别为：

x＋2y＋2－2a＝0，x－2y＋2＋2a＝0，x＝－2。

当a≤0时，在C上有一个点（－2，－），在这点的法线过点P（－2，a），其方程为：x＝－2。……………………………………………………………………………………3分