题目列表(包括答案和解析)
（本小题满分14分）
在平面直角坐标系内已知两点A(-1,0)、B(1,0),若将动点P(x,y)的横坐标保持不变，纵坐标扩大到原来的
倍后得到点Q(x,y),且满足
·
=1.
(1)求动点P所在曲线C的方程；
(2)过点B作斜率为-
的直线L交曲线C于M、N两点，且
+
+
=
，试求△MNH的面积.
（本小题满分14分）在直三棱柱ABC—A1B1C1中，∠ACB=90°，AC=BC=AA1=1，D、E分别为棱AB、BC的中点，M为棱AA1上的点。
（1）证明：A1B1⊥C1D；
（2）当
的大小。
（本小题满分14分）
在
ABC中角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足（2a-c）cosB=bcosC
(1)求角B的大小；
(2设向量m= (sinA,cos2A),n=(k,1)，且m
n＞1恒成立，求k的取值范围.
（本小题满分14分）
在平面直角坐标系中，O为坐标原点，给定两点A（1，0），B（0，—2），点C满足
，其中
，且
，
（1）求点C的轨迹方程；
（2）设点C的轨迹与双曲线
（a>0，b>0）相交于M、N两点，且以MN为直径的圆经过原点，求证：
为定值；
（3）在（2）的条件下，若双曲线的离心率不大于
，求双曲线实轴长的取值范围。
（本小题满分14分）
在平面直角坐标系xOy上，给定抛物线L:
．实数p，q满足
，x1，x2是方程
的两根，记
。
（1）过点
作L的切线教y轴于点 B．证明：对线段AB上任一点Q（p，q）有
（2）设M（a，b）是定点，其中a，b满足a2-4b>0,a≠0．过M（a，b）作L的两条切线
，切点分别为
，与y轴分别交与F,F'。线段EF上异于两端点的点集记为X．证明：M（a,b） 
X
;
（3）设D={ （x,y）|y≤x-1,y≥
（x+1）2-
}．当点（p,q）取遍D时，求
的最小值 （记为
）和最大值（记为
）．
1－10：DCDAABCBCDC
11., 12. 85, 13. 5 ,14. 6 ,15. -3 .
1．函数的定义域是，解得x≥1，选D.
2．向量若时，∥，∴ ；时，，，选C.
3．的展开式中的系数=x3， 则实数的值是2，选D
4．过半径为2的球O表面上一点A作球O的截面，若OA与该截面所成的角是60°，则截面圆的半径是R=1，该截面的面积是π，选A.
5．若“”，则函数=在区间上为增函数；而若在区间上为增函数，则0≤a≤1，所以“”是“函数在区间上为增函数”的充分不必要条件，选A.
6．在数字1，2，3与符号“＋”，“－”五个元素的所有全排列中，先排列1，2，3，有种排法，再将“＋”，“－”两个符号插入，有种方法，共有12种方法，选B.
7．圆的圆心为(2，2)，半径为3，圆心到到直线的距离为>3，圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差是2R =6，选C.
8．设点P是函数的图象C的一个对称中心，若点P到图象C的对称轴上的距离的最小值，∴ 最小正周期为π，选B.
9．过双曲线的左顶点(1，0)作斜率为1的直线：y=x－1, 若与双曲线的两条渐近线分别相交于点, 联立方程组代入消元得，∴ ，x1+x2=2x1x2，又,则B为AC中点，2x1=1+x2，代入解得，∴ b2=9，双曲线的离心率e=，选D.
10．如图，OM∥AB，点P由射线OM、线段OB及AB的延长线围成的阴影区域内（不含边界）.且，
由图知，x<0，当x=－时，即=－，P点在线段DE上，=，=，而<<，∴ 选C.
二．填空题：
11.； 12. 85； 13. 5 ； 14. 6 ； 15. －3 .
11．数列满足：，2，3…，该数列为公比为2的等比数列，∴ .
12．某高校有甲、乙两个数学建模兴趣班. 其中甲班有40人，乙班50人. 现分析两个班的一次考试成绩，算得甲班的平均成绩是90分，乙班的平均成绩是81分，则该校数学建模兴趣班的平均成绩是分.
13．已知，如图画出可行域，得交点A(1，2)，B(3，4)，则的最小值是5.
14．过三棱柱 ABC－A1B1C1 的任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB1A1平行的直线共有6条。
15．是偶函数，取a=－3，可得为偶函数。
16. 解 由已知条件得.
即.
解得.
由0＜θ＜π知，从而.
17. 解 （Ⅰ）每家煤矿必须整改的概率是1－0.5，且每家煤矿是否整改是相互独立的. 所以恰好有两家煤矿必须整改的概率是.
（Ⅱ）解法一 某煤矿被关闭，即该煤矿第一次安检不合格，整改后经复查仍不合格，所以该煤矿被关闭的概率是，从而煤矿不被关闭的概率是0.90.
解法二 某煤矿不被关闭包括两种情况：（i）该煤矿第一次安检合格；（ii）该煤矿第一次安检不合格，但整改后合格.
所以该煤矿不被关闭的概率是.
(Ⅲ)由题设（Ⅱ）可知，每家煤矿不被关闭的概率是0.9，且每家煤矿是否被关闭是相互独立的，所以到少关闭一家煤矿的概率是.
18. 解法一 （Ⅰ）连结AC、BD，设.
由P－ABCD与Q－ABCD都是正四棱锥，所以PO⊥平面ABCD，QO⊥平面ABCD.
从而P、O、Q三点在一条直线上，所以PQ⊥平面ABCD.
（Ⅱ）由题设知，ABCD是正方形，所以AC⊥BD.
所以
于是.
从而异面直线AQ与PB所成的角是.
(Ⅲ)由（Ⅱ），点D的坐标是（0，－，0），，
，设是平面QAD的一个法向量，由
得.
取x=1，得.
所以点P到平面QAD的距离.
解法二 （Ⅰ）取AD的中点，连结PM，QM.
因为P－ABCD与Q－ABCD都是正四棱锥，
所以AD⊥PM，AD⊥QM. 从而AD⊥平面PQM.
又平面PQM，所以PQ⊥AD.
同理PQ⊥AB，所以PQ⊥平面ABCD.
因为OA＝OC，OP＝OQ，所以PAQC为平行四边形，AQ∥PC.
从而∠BPC（或其补角）是异面直线AQ与PB所成的角.
因为，
所以.
从而异面直线AQ与PB所成的角是.
(Ⅲ)连结OM，则.
所以∠PMQ＝90°，即PM⊥MQ.
由（Ⅰ）知AD⊥PM，所以PM⊥平面QAD. 从而PM的长是点P到平面QAD的距离.
在直角△PMO中，.
即点P到平面QAD的距离是.
19. 解 （Ⅰ）由题设知.
令.
当（i）a>0时，
若，则，所以在区间上是增函数；
若，则，所以在区间上是减函数；
若，则，所以在区间上是增函数；
（i i）当a＜0时，
若，则，所以在区间上是减函数；
若，则，所以在区间上是减函数；
若，则，所以在区间上是增函数；
若，则，所以在区间上是减函数.
（Ⅱ）由（Ⅰ）的讨论及题设知，曲线上的两点A、B的纵坐标为函数的极值，且函数在处分别是取得极值，.
因为线段AB与x轴有公共点，所以.
即.所以.
故.
解得 －1≤a＜0或3≤a≤4.
即所求实数a的取值范围是[-1，0)∪[3，4].
20. 解 （Ⅰ）由已知得，
.
（Ⅱ）因为，
所以.
又因为，
所以
=.
综上，.
21. 解 （Ⅰ）当AB⊥x轴时，点A、B关于x轴对称，所以m＝0，直线AB的方程为
x=1，从而点A的坐标为（1，）或（1，－）.
因为点A在抛物线上，所以，即.
此时C2的焦点坐标为（，0），该焦点不在直线AB上.
（Ⅱ）解法一 当C2的焦点在AB时，由（Ⅰ）知直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为.
由消去y得. ……①
设A、B的坐标分别为（x1,y1）, （x2,y2）,
则x1,x2是方程①的两根，x1＋x2＝.
所以，且
.
从而.
所以，即.
解得.
因为C2的焦点在直线上，所以.
即.
当时，直线AB的方程为；
当时，直线AB的方程为.
解法二 当C2的焦点在AB时，由（Ⅰ）知直线AB的斜率存在，设直线AB的方程
为.
由消去y得. ……①
因为C2的焦点在直线上，
所以，即.代入①有.
即. ……②
设A、B的坐标分别为（x1,y1）, （x2,y2）,
则x1,x2是方程②的两根，x1＋x2＝.
由消去y得. ……③
由于x1,x2也是方程③的两根，所以x1＋x2＝.
从而＝. 解得.
因为C2的焦点在直线上，所以.
即.
当时，直线AB的方程为；
当时，直线AB的方程为.
解法三 设A、B的坐标分别为（x1,y1）, （x2,y2）,
因为AB既过C1的右焦点，又是过C2的焦点，
所以.
即. ……①
由（Ⅰ）知，于是直线AB的斜率， ……②
且直线AB的方程是,
所以. ……③
又因为，所以. ……④
将①、②、③代入④得，即.
当时，直线AB的方程为；
当时，直线AB的方程为.
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