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已知双曲线的渐近线与抛物线C：y=x²+1相切于第一象限内的点P．
（I）求点P的坐标及双曲线E的离心率；
（II）记过点P的渐近线为l₁，双曲线的右焦点为F，过点F且垂直于l₁的直线l₂与双曲线E交于A、B两点．当△PAB的面积为时，求双曲线E的方程．

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如图，椭圆C: 的焦点为F₁（0，c）、F₂（0，一c）（c>0），抛物线的焦点与F₁重合，过F₂的直线l与抛物线P相切，切点在第一象限，且与椭圆C相交于A、B两点，且

   （I）求证：切线l的斜率为定值；

   （Ⅱ）若抛物线P与直线l及y轴围成的图形面积为，求抛物线P的方程；

   （III）当时，求椭圆离心率e的取值范围。

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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一、选择题：（每小题5分，共50分）

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

答案

B

D

B

A

C

C

C

A

A

B

二、填空题：（每小题4分，共24分）

11．     12．4       13．      14．     15．4   16．

三、解答题：（共76分，以下各题为累计得分，其他解答请相应给分）

17．解：（I）

        由，得。

        又当时，得

       （Ⅱ）当

        即时函数递增。

        故的单调增区间为，

18．解：（I）各取1个球的结果有（红，红₁）（红，红₂）（红，白₁）（红，白₂）（红，黑）

（白，红₂）（白，红₂）（白，白₁）（白，白₂）（白，黑）（白，红₁）（白，红₂）

（白，白₁）（白，白₂）（白，黑）（黑₁，红₁）（黑₁，红₂）（黑₁，白₁）（黑₁，白₂）（黑₁，黑）（黑₂，红₁）（黑₂，红₂）（黑₂，白₁）（黑₂，白₂）（黑₂，黑）（黑₃，红₁）

（黑₃，红₂）（黑₃，白₁）（黑₃，白₂）（黑₃，黑）

等30种情况

其中恰有1白1黑有（白，黑）…（黑₃，白₂）8种情况，

故1白1黑的概率为

   （Ⅱ）2红有2种，2白有4种，2黑有3种，

故两球颜色相同的概率为

   （Ⅲ）1红有1×3+2×5=13（种），2红有2种，

故至少有1个红球的概率为

19．解：（I）侧视图   （高4，底2）

   （Ⅱ）证明，由面ABC得AC，又由俯视图知ABAC，，

面PAB

又AC面PAC，面PAC面PAB

   （Ⅲ）面ABC，为直线PC与底面ABC所成的角

在中，PA=4，AC=，，

20．解：（I）由题意设C的方程为由，得。

    设直线的方程为，由

    ②代入①化简整理得  

    因直线与抛物线C相交于不同的两点，

    故

    即，解得又时仅交一点，

   （Ⅱ）设，由由（I）知

21．解：（I）   由得

于是故

切线方程为，即

   （Ⅱ）令，解得

    ①当时，即时，在内，，于是在[1，4]内为增函数。从而

    ②当，即，在内，，于是在[1，4]内为减函数，从而

    ③当时，在内递减，在内递增，故在[1，4]上的最大值为与的较大者。

    由，得，故当时，

    当时，

22．解：（I）设的首项为，公差为d，于是由

        解得       

       （Ⅱ）

        由  ①

        得     ②

        ①―②得   即

        当时，，当时，

        于是

        设存在正整数，使对恒成立

        当时，，即

        当时，

        当时，当时，，当时，

        存在正整数或8，对于任意正整数都有成立。