题目列表(包括答案和解析)
如图,直线与抛物线交于两点,与轴相交于点,且.
(1)求证:点的坐标为;
(2)求证:;
(3)求的面积的最小值.
【解析】设出点M的坐标,并把过点M的方程设出来.为避免对斜率不存在的情况进行讨论,可以设其方程为,然后与抛物线方程联立消x,根据,即可建立关于的方程.求出的值.
(2)在第(1)问的基础上,证明:即可.
(3)先建立面积S关于m的函数关系式,根据建立即可,然后再考虑利用函数求最值的方法求最值.
设椭圆 :()的一个顶点为,,分别是椭圆的左、右焦点,离心率 ,过椭圆右焦点 的直线 与椭圆 交于 , 两点.
(1)求椭圆的方程;
(2)是否存在直线 ,使得 ,若存在,求出直线 的方程;若不存在,说明理由;
【解析】本试题主要考查了椭圆的方程的求解,以及直线与椭圆的位置关系的运用。(1)中椭圆的顶点为,即又因为,得到,然后求解得到椭圆方程(2)中,对直线分为两种情况讨论,当直线斜率存在时,当直线斜率不存在时,联立方程组,结合得到结论。
解:(1)椭圆的顶点为,即
,解得, 椭圆的标准方程为 --------4分
(2)由题可知,直线与椭圆必相交.
①当直线斜率不存在时,经检验不合题意. --------5分
②当直线斜率存在时,设存在直线为,且,.
由得, ----------7分
,,
=
所以, ----------10分
故直线的方程为或
即或
下列命题:
①若两直线平行,则其斜率相等;②若两直线垂直,则其斜率之积为-1;③垂直于x轴的直线平行于y轴.
其中正确命题的个数为( )
A.0 B.1 C.2 D.3
A思路解析:①两直线斜率不存在时,也可以平行,故不对;
②两直线一条不存在斜率,另一条斜率为0,此时也垂直,故不对.
③垂直于x轴的直线不一定平行于y轴,可以与y轴重合,故不对
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